方向微商是方向导数吗

『壹』 导数和微分之间是什么关系，或联系

1、一元函数，可导就是可微，没有本质区别，完全是一个意思的两种表述： 可导强调的是曲线的斜率、变量的牵连变化率； 可微强调的是可以分割性、连续性、光滑性。 dx、dy: 可微性； dy/dx: 可导性 dy = (dy/dx)dx， 在工程应用中,变成： Δy = (dy/dx)Δx 这就是可导、可微之间的关系： 可导 = 可微 = Differentiable。 导数 = 微分 = Differentiation，Derivative 不可导 = 不可微 = Undifferentiable 【说穿了，可以说是中文在玩游戏，也可以说中文概念更精确性】 2、二元和二元以上的多元函数有偏导(Partial Differentiation)的概念， 有全导数、全微分(Total Differentiatin)的概念。 【说穿了，可以说也是中文在玩游戏，也可以说中文概念更有思辩性】 多元函数有方向导数(Directional Differentiation/Derivative)的概念 一元函数，无所谓偏导、全导，也没有全微分、偏微分、方向导数的概念。3、对于多元函数，沿任何坐标轴方向的导数都是偏导数， a、沿任何特定方向的导数都是方向导数。 b、方向导数取得最大值的方向导数就是梯度(Gradient)。 c、英文中有全导数的概念(Total Differentian),只是我们的教学不太习惯 这样称呼，我们习惯称为全微分，其实是完全等同的意思。 一元函数没有这些概念。偏导就是全导，全导就是偏导。4、dx、dy、都是微分，只有在写成=(∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy时， 才是全微分，而dx、dy就是偏微分，只是我们不习惯这样讲罢了。 而∂f、∂x、∂y还是微分的概念，是df、dx、dy在多元函数中的变形。x的单独变化会引起u的变化，=(∂f/∂x)dxy的单独变化会引起u的变化，=(∂f/∂y)dy其中的 ∂f/∂x、∂f/∂y 就是二元函数f分别对x,y的偏导数。∂f/∂x 就是由于x的变化单独引起的f的变化率，部分原因引起，为“偏”；∂f/∂y 就是由于y的变化单独引起的f的变化率，部分原因引起，为“偏”。x、y同时变化，引起u的变化是：=(∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy这就是全微分，所有原因共同引起为“全”。总而言之，言而总之：对一元函数，可导与可微没有本质区别；对多元函数，可微是指所有方向可以偏导，可微的要求更高。

可以么？

『贰』 导数和微分是什么关系呢

dx表示很小很小的x，要多小有多小。
dy是当自变量增量为dx时，函数值的近似增量。所以dy=tanθdx,tanθ是点x切线斜率，而切线斜率是f'(x),所以f'(x)=dy/dx,所以又叫微商。

u中u是关于自变量的函数，如果把u当作一个整体看成新的自变量，求u,就相当于求xdx

『叁』 "导数 dy / dx"和"微分 dy" 的记号

一维的情况下，导数和微分的意义是一样的，即导数就是微商，而dx,dy分别是x，y的微分算子，你可以理解为delta x，delta y，只不过这个距离取的极小极小而已。而导数就是delta x/delta y的极限。

delta x就是x2-x1啊。
2元的由于有x，y两个方向，情况复杂，可微与可导不是一个概念，具体情况我也记不清了。而一元情形，可微可导意义相同，你可以理解为等式两边同时乘以一个delta y然后对x取极限

『肆』 微分学的导数

微分学的核心概念，主要始原于研究如何确定非匀速直线运动质点的瞬时速度与平面曲线上一点处的切线方向。
原是一个纯粹的物理概念。它是在人们经过多次反复观察比较种种非匀速直线运动，尤其在研究物体的碰撞运动而获得大量经验之后产生的。精确科学要求，不仅要准确、清晰而定性地表达这个概念（当然必须与经验的瞬时速度概念相一致），而且要能同时给出确定速度数值的方法。这就促使人们在数学上要建 立一种对函数施加的独特的运算。

设一个非匀速直线运动的质点所行的路程 s与时间t的依赖关系是 s=f(t)。 如果要定义质点在某一给定时刻t的速度(瞬时速度),并计算出这速度的数值，考虑时刻t的一个邻近值t1，在t到t1这段时间Δt=t1-t中，质点运动的路程是 △s=f(t1)-f(t)，从而这段路程上的平均速度是：（图1）

在一般常见的情形，当Δt很小,相应的尌就很接近于时刻t的瞬时速度，而且一般说来，Δt愈小，尌就愈接近于该时刻的瞬时速度。这说明,时刻t的瞬时速度可以表现为路程变化量与时间变化量之比当Δt趋于零（而始终不等于零）时的极限：（图2）只要这个极限存在，就利用它来定义瞬时速度并计算其数值。 若质点作曲线运动，则在每一瞬时，运动的特征首先表现在方向上。对质点运动瞬时方向的数量分析也将导致对函数施加与计算瞬时速度类似的运算。

设一个质点在一平面上运动，其轨迹在取定一个笛卡儿坐标系后可以表示成曲线y=ƒ(x)。如果要考虑怎样确定质点运动到曲线上一任意给定点p（x,y）时的瞬时方向（图1），为此在曲线上取p的一邻近点Q(x1,y1)。很容易看到割线pQ的方向近似于质点在p处的瞬时方向,而且一般说来，x1愈接近x，近似程度就愈好。如果当Q沿曲线趋近p,割线pQ趋近某个极限位置pT，则占据这个极限位置的直线就称为曲线在点p
处的切线，这切线的方向就是运动质点在点p处的瞬时方向。切线pT与横轴的夹角θ,就应当是割线pQ与横轴夹角φ的极限。因此切线pT的斜率k=tanθ可以如下计算：（图3） 若令Δx=x1-x，则有（图4）只要这个极限存在,就决定了曲线y=ƒ(x)在点p(x,y)处的切线的方向。 导数也称微商。上述两个问题尽管有着不同的物理方面或几何方面的背景，但表现在数量关系上并没有区别,解决问题所涉及的运算也是相同的:从自变量x的变化量Δx出发，求出相应的因变量y的变化量Δy以后，取商Δy/Δx，再令Δx趋于零(而始终不等于零)取极限（图5）。这个极限运算称为函数的微分运算，运算的结果称为函数的导数。

准确地说，函数y=ƒ(x)在给定一点x处的导数定义为 （图6）这里说的是这个极限存在的情况，这时又称函数ƒ(x)在点x处是可微的。如果这个极限不存在,就认为ƒ(x)在x处没有导数,并称ƒ(x)在点x处不可微。例如ƒ(x)=|x|在x=0处就是不可微的。容易看出,如果因变量的变化量Δy=ƒ(x+Δx)-ƒ(x)不随Δx趋于零,则上述极限不会存
在，所以函数在其不连续点处一定是不可微的。值得注意的是,函数在其连续点处也有可能是不可微的,如前面所给出的例ƒ(x)=|x|就在x=0处连续而不可微。K.（T.W.）外尔斯特拉斯曾给出一个例子(1872)，其中的函数处处连续但处处不可微。所以，函数的可微性要求比连续性强得多。外尔斯特拉斯给出的函数是（图7）式中0<α<1；b)为满足条件（图8）的一个奇整数。可以在给定的点x处考虑单侧导数,即左导数与右导数：（图9）
函数ƒ(x)在它的每一个可微点x处都对应着一个唯一确定的数值──导数值ƒ┡(x),这个对应关系给出了一个

定义在ƒ(x)全体可微点的集合上的新的函数，称为函数ƒ(x)的导函数，记为ƒ┡(x)。

『伍』 高等数学【微积分*P215，方向wei商的意义·~仙侠精灵进！】благодарю

方向微商就是方向导数，方向导数本质上也还是导数，导数代表变化率，所以方向微商就是函数在给定方向上的导数，也就是该方向的变化率。例如：
一元函数的导数就是函数值在x方向的变化率，多元函数的偏导数就是函数值在各自坐标轴方向的变化率。x方向偏导数fx，也可以认为是(1,0,0)方向的方向导数，你可以代入梯度×单位向量的公式验证。
这样，方向微商的几何意义应该清楚了吧。

『陆』 导数和斜率是一样的吗

不一样。

导数又叫导函数，是一个函数，是原来的函数的导函数。导数的几何意义就是斜率，求函数在x0处的切线斜率，就是先求出该函数的导数，然后将x0的值代入导数，得到的就是该点的切线斜率。导数是基于斜率运算的一个极限结果，可以描述图形的连续性，具有图形上单点的描述特征。

也就是说，导函数每一点的函数值都是对应于原函数的对应点的切线斜率。而斜率的意义是比较广泛的, 比如抛物线上任意两点连线可以求出一个斜率，但导数不可以这样做。

(6)方向微商是方向导数吗扩展阅读

导数与微分的区别与联系

1、起源不同：导数起源是函数值随自变量增量的变化率，即△y/△x的极限。微分起源于微量分析，如△y可分解成A△x与o(Ox)两部分之和，其线性主部称微分。当△x很小时，△y的数值大小主要由微分A△x决定，而o(Ox)对其大小的影响是很小的。

2、几何意义不同：导数的值是该点处切线的斜率，微分的值是沿切线方向上纵坐标的增量，而△y则是沿曲线方向上纵坐标的增量。

3、联系：导数是微分之商(微商)y’=dy/dx,微分dy=f'(x)dx。对一元函数而言，可导必可微，可微必可导。

『柒』 数学题：导数与微分的本质区别

1、一元函数，可导就是可微，没有本质区别，完全是一个意思的两种表述：
可导强调的是曲线的斜率、变量的牵连变化率；
可微强调的是可以分割性、连续性、光滑性。

dx、dy: 可微性； dy/dx: 可导性

dy = (dy/dx)dx， 在工程应用中,变成： Δy = (dy/dx)Δx

这就是可导、可微之间的关系：
可导 = 可微 = Differentiable。
导数 = 微分 = Differentiation，Derivative
不可导 = 不可微 = Undifferentiable

【说穿了，可以说是中文在玩游戏，也可以说中文概念更精确性】

2、二元和二元以上的多元函数有偏导(Partial Differentiation)的概念，
有全导数、全微分(Total Differentiatin)的概念。
【说穿了，可以说也是中文在玩游戏，也可以说中文概念更有思辩性】
多元函数有方向导数(Directional Differentiation/Derivative)的概念

一元函数，无所谓偏导、全导，也没有全微分、偏微分、方向导数的概念。

3、对于多元函数，沿任何坐标轴方向的导数都是偏导数，
a、沿任何特定方向的导数都是方向导数。
b、方向导数取得最大值的方向导数就是梯度(Gradient)。
c、英文中有全导数的概念(Total Differentian),只是我们的教学不太习惯
这样称呼，我们习惯称为全微分，其实是完全等同的意思。

一元函数没有这些概念。偏导就是全导，全导就是偏导。

4、dx、dy、都是微分，只有在写成=(∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy时，
才是全微分，而dx、dy就是偏微分，只是我们不习惯这样讲罢了。
而∂f、∂x、∂y还是微分的概念，是df、dx、dy在多元函数中的变形。

x的单独变化会引起u的变化，=(∂f/∂x)dx
y的单独变化会引起u的变化，=(∂f/∂y)dy
其中的 ∂f/∂x、∂f/∂y 就是二元函数f分别对x,y的偏导数。
∂f/∂x 就是由于x的变化单独引起的f的变化率，部分原因引起，为“偏”；
∂f/∂y 就是由于y的变化单独引起的f的变化率，部分原因引起，为“偏”。

x、y同时变化，引起u的变化是：
=(∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy
这就是全微分，所有原因共同引起为“全”。

总而言之，言而总之：
对一元函数，可导与可微没有本质区别；
对多元函数，可微是指所有方向可以偏导，可微的要求更高。

『捌』 导数和微分深层次本质关系是什么

对于一元函数下的微分，由△y=A△x+0(x),记得dy=A△x,A即为其相对应的导。对于函数f(x),在某点处可导是其可微的充要条件。也可以说导数是相应函数微分dy与自变量微分dx的商。所以导数又称微商。而对于两者的几何意义而言，导数是函数在过相应点切线的斜率，而相应微分就是这条切线纵坐标的改变量。
导数强调的是一种变化率，而微分是对于变化量的解读。

而对于多元函数之下的偏导数和全微分，又有些微的区别。
以二元函数为例，f（x+△x,y）-f(x,y)≈fx(x,y)△x【对x的偏微分】（当然另外还有对y的偏微分）。x,y均改变的情况下产生的函数改变量成为全增量，这种情况下产生了全微分。
对于二元函数z=f(x,y)在点（x,y）处可微分（全微分），那么在此点就有偏导数，且在此点沿任意方向的方向导数（偏导数也可以说是方向导数中的特例）均存在。而偏导数在此点处连续才能得到可微分。
进一步，也即是说偏导数是全微分的必要不充分条件。
此种情况下看，可微分的条件更为严苛。

其实我们也可以将一元函数中的导数和微分看做是一种特殊的全导和全微，因为它研究的基础是平面的，变化也是单一的。

『玖』 微分和微商（导数）的本质区别

(1)起源（定义）不同：导数起源是函数值随自变量增量的变化率，即△y/△x的极限。微分起源于微量分析，如△y可分解成A△x与o(△x)两部分之和，其线性主部称微分。当△x很小时，△y的数值大小主要由微分A△x决定，而o(△x)对其大小的影响是很小的。
(2)几何意义不同：导数的值是该点处切线的斜率，微分的值是沿切线方向上纵坐标的增量，而△y则是沿曲线方向上纵坐标的增量。可参考任何一本教材的图形理解。
(3)联系：导数是微分之商（微商）y'
=dy/dx,
微分dy=f'(x)dx，这里公式本身也体现了它们的区别。
(4)关系：对一元函数而言，可导必可微，可微必可导。