协变微商公式

A. 广义相对论的主要内容是什么，公式是什么最好有原文

广义相对论是对牛顿万有引力定律的修正与推广，是用张量语言写成的引力论。它将引力描述成背景时空而不是一种力，一个物体若只受引力作用则在广义相对论看来是自由质点不受力。引力的作用是使直线变得弯曲，数学上体现在度规张量分量非常数，等价于黎曼曲率张量非零，协变导数和普通偏导数不同，克氏符非0等。

其公式主要是引力场方程，其数学形式为Rab-0.5gabR=8πTab。式中Rab叫做里奇张量，为上升第四指标的黎曼曲率张量上标和第一或第二下标缩并后的结果。协变矢量两次协变导数交换顺序相减后的结果是黎曼曲率张量和协变矢量的内积。gab叫做度规张量是该方程的待求量，其在某个坐标系的分量是该坐标系基矢量的内积。R叫做曲率标量，是度规张量的逆变分量和里奇张量分量的内积。Tab是能动张量。

其他的一些相关数学公式如图

B. 什么是协变量代数

追寻引力的量子理论

一. 量子时代的流浪儿

二十世纪理论物理学家说得最多的话之一也许就是： “广义相对论和量子理论是现代物理学的两大支柱”。两大支柱对于建一间屋子来说可能还太少，但对于物理学却已嫌多，二十世纪物理学家的一个很大的梦想就是把这两大支柱合而为一。

如今二十世纪已经走完，回过头来重新看看这两大支柱，在量子理论这根支柱上已经建起了十分宏伟的殿堂，物理学的绝大多数分支都在这座殿堂中搭起了自己的舞台。物理学中已知的四种基本相互作用有三种在这座殿堂内得到了一定程度的描述。可以说，物理学的万里河山量子理论已经十有其九。今天的物理学正处在一个不折不扣的量子时代。而这个辉煌的量子时代最大的缺憾就在于物理学的另一根支柱 - 广义相对论 - 还孤零零地游离在量子理论的殿堂之外。

广义相对论成了量子时代的流浪儿。

二. 引力为什么要量子化？

广义相对论和量子理论在各自的领域内都经受了无数的实验检验，迄今为止，还没有任何确切的实验观测与这两者之一矛盾。有段时候，人们甚至认为生在这么一个理论超前于实验的时代对于理论物理学家来说是一种不幸。 Einstein 曾经很怀念 Newton 时代，因为那是物理学的幸福童年时代，充满了生机； Einstein 之后也有一些理论物理学家很怀念 Einstein 时代，因为那是物理学的伟大变革时代，充满了挑战。

今天的理论物理学依然充满了挑战，但是与 Newton 和 Einstein 时代理论与实验的 “亲密接触” 相比，今天理论物理的挑战和发展更多地是来自于理论自身的要求，来自于物理学追求统一，追求完美的不懈努力。

量子引力理论就是一个很好的例子。

虽然量子引力理论的主要进展大都是在最近这十几年取得的，但是引力量子化的想法早在 1930 年就已经由 L. Rosenfeld 提出了。从某种意义上讲，在今天大多数的研究中量子理论与其说是一种具体的理论，不如说是一种理论框架，一种对具体的理论 - 比如描述某种相互作用的场论 - 进行量子化的理论框架。广义相对论作为一种描述引力相互作用的场论，在量子理论发展早期是除电磁场理论外唯一的基本相互作用场论。把它纳入量子理论的框架因此就成为继量子电动力学后一种很自然的想法。

但是引力量子化的道路却远比电磁场量子化来得艰辛。在经历了几代物理学家的努力却未获得实质性的进展后人们有理由重新审视追寻量子引力的理由。

广义相对论是一个很特殊的相互作用理论， 它把引力归结为时空本身的几何性质。 从某种意义上讲， 广义相对论所描述的是一种 “没有引力的引力”。 既然 “没有引力”， 是否还有必要进行量子化呢？描述这个世界的物理理论是否有可能只是一个以广义相对论时空为背景的量子理论呢？[注一] 也就是说，广义相对论和量子理论是否有可能真的同时作为物理学的基础理论呢？

这些问题之所以被提出， 除了量子引力理论本身遭遇的困难外， 没有任何量子引力存在的实验证据也是一个重要原因。 但是种种迹象表明，即使撇开由两个独立理论所带来的美学上的缺陷， 把广义相对论和量子理论的简单合并作为自然图景的完整描述仍然存在许多难以克服的困难。

问题首先在于广义相对论和量子理论彼此间并不相容。 我们知道一个量子系统的波函数由系统的 Schrödinger 方程

HΨ = i∂tΨ

所决定。 方程式左边的 H 称为系统的 Hamiltonian (哈密顿量)， 它是一个算符，包含了对系统有影响的各种外场的作用。这个方程对于波函数 Ψ 是线性的， 也就是说如果 Ψ1 和 Ψ2 是方程的解， 那么它们的任何线性组合也同样是方程的解。 这被称为态迭加原理，在量子理论的现代表述中作为公理出现， 是量子理论最基本的原理之一。 但是一旦引进体系内 (即不仅仅是外场) 的非量子化引力相互作用，情况就不同了。 因为由波函数所描述的系统本身就是引力相互作用的源， 而引力相互作用又会反过来影响波函数， 这就在系统的演化中引进了非线性耦合，从而破坏了量子理论的态迭加原理。 不仅如此， 进一步的分析还表明量子理论和广义相对论耦合体系的解有可能是不稳定的。

其次，广义相对论和量子理论在各自 “适用” 的领域中也都面临一些尖锐的问题。比如广义相对论所描述的时空在很多情况下 - 比如在黑洞的中心或宇宙的初始 - 存在所谓的 “奇点” (Singularity)。在这些奇点上时空曲率和物质密度都趋于无穷。这些无穷大的出现是理论被推广到其适用范围之外的强烈征兆。无独有偶，量子理论同样被无穷大所困扰，虽然由于所谓重整化方法的使用而暂得偏安一隅。但从理论结构的角度看，这些无穷大的出现预示着今天的量子理论很可能只是某种更基础的理论在低能区的 “有效理论” (Effective Theory)。因此广义相对论和量子理论不可能是物理理论的终结，寻求一个包含广义相对论和量子理论基本特点的更普遍的理论是一种合乎逻辑和经验的努力。

三. 黑洞熵的启示

迄今为止对量子引力理论最具体最直接的 “理论证据” 来自于对黑洞热力学的研究。一九七二年，Princeton 大学的研究生 J. D. Bekenstein 受黑洞动力学与经典热力学之间的相似性启发，提出了黑洞熵的概念，并估算出黑洞的熵正比于其视界 (Event Horizon) 面积。稍后，S. W. Hawking 研究了黑洞视界附近的量子过程，结果发现了著名的 Hawking 幅射，即黑洞会向外幅射粒子 (也称为黑洞蒸发)，从而表明黑洞是有温度的。由此出发 Hawking 也推导出了 Bekenstein 的黑洞熵公式，并确定了比例系数，这就是所谓的 Bekenstein-Hawking 公式：

S = k (A/Lp2) / 4

式中 k 为 Boltzmann 常数，它是熵的微观单位， A 为黑洞视界面积， Lp 为 Planck 长度，它是由广义相对论和量子理论的基本常数组合成的一个自然长度单位 (大约为 10-35 米)。

Hawking 对黑洞幅射的研究使用的正是以广义相对论时空为背景的量子理论，即所谓的半经典理论，但黑洞熵的存在却预示着对这一理论框架的突破。我们知道，从统计物理学的角度讲，熵是体系微观状态数目的体现，因而黑洞熵的存在表明黑洞并不象此前人们认为的那样简单，它含有数量十分惊人的微观状态。这在广义相对论的框架内是完全无法理解的，因为广义相对论有一个著名的 “黑洞无毛发定理” (No-Hair Theorem)，它表明黑洞的内部性质由其质量，电荷和角动量三个宏观参数所完全表示 (即使考虑到由 Yang-Mills 场等带来的额外参数，其数量也十分有限)，根本就不存在所谓微观状态。这表明黑洞熵的微观起源必须从别的理论中去寻找，这 “别的理论” 必须兼有广义相对论和量子理论的特点 (因为黑洞熵的推导用到了量子理论)。量子引力理论显然正是这样的理论。

在远离实验检验的情况下，黑洞熵目前已经成为量子引力理论研究中的一个很重要的理论判据。一个量子引力理论要想被物理学界所接受，必须跨越的重要 “位垒” 就是推导出与 Bekenstein-Hawking 熵公式相一致的微观状态数。

四. 引力量子化的早期尝试

引力量子化几乎是量子化方法的练兵场，早期的尝试几乎用遍了所有已知的场量子化方法。最主要的方案有两大类：协变量子化和正则量子化。它们共同发源于一九六七年 B. DeWitt 题为 "Quantum Theory of Gravity" 的系列论文。

协变量子化方法试图保持广义相对论的协变性，基本的做法是把度规张量 gμν 分解为背景部分 gμν 和涨落部份 hμν:

gμν = gμν + hμν

不同的文献对背景部份的选择不尽相同，有的取 Minkowski 背景度规 ημν，有的取量子有效作用量 (quantum effective action) 的解。这种方法和广义相对论领域中传统的弱场展开方法一脉相承，思路是把引力相互作用理解为在一个背景时空中引力子的相互作用。在低级近似下协变量子引力很自然地包含自旋为 2 的无质量粒子：引力子。

由于这种分解展开使用的主要是微扰方法，随着七十年代一些涉及理论重整化性质的重要定理被相继证明，人们对这一方向开始有了较系统的了解。只可惜这些结果基本上都是负面的。一九七四年，G. 't Hooft 和 M. Veltman 首先证明了在没有物质场的情况下量子引力在单圈图 (1-loop) 层次上是可重整的，但只要加上一个标量物质场理论立刻变得不可重整。十二年后 M. H. Goroff 和 A. Sagnotti 证明了量子引力在两圈图 (2-loop) 层次上是不可重整的。这一结果基本上结束了早期协变量子引力的生命。又过了十二年，Z. Bern 等人往这一已经冷落的方向又泼了一桶凉水，他们证明 - 除了 N = 8 的极端情形尚待确定外 - 量子超引力也是不可重整的，从而连超对称这根最后的救命稻草也被铲除了。[注二]

与协变量子化方法不同，正则量子化方法一开始就引进了时间轴，把四维时空流形分割为三维空间和一维时间 (所谓的 ADM 分解)，从而破坏了明显的广义协变性。[注三] 时间轴一旦选定，就可以定义系统的 Hamilton 量，并运用有约束场论中普遍使用的 Dirac 正则量子化方法。正则量子引力的一个很重要的结果是所谓的 Wheeler-DeWitt 方程，它是对量子引力波函数的约束条件。由于量子引力波函数描述的是三维空间度规场的分布，也就是空间几何的分布，它有时被称为宇宙波函数， Wheeler-DeWitt 方程也因而被一些物理学家视为量子宇宙学的基本方程。

与协变量子化方法一样，早期的正则量子化方法也遇到了大量的困难，这些困难既有数学上的，比如 Wheeler-DeWitt 方程别说求解，连给出一个数学上比较严格的定义都困难；也有物理上的，比如无法找到合适的可观测量和物理态。[注四]

引力量子化的这些早期尝试所遭遇的困难，特别是不同的量子化方法给出的结果大相径庭这一现象是具有一定启示性的。这些问题的存在反映了一个很基本的事实，那就是许多不同的量子理论可以具有同样的经典极限，因此对一个经典理论量子化的结果是不唯一的，原则上就不存在所谓唯一 “正确” 的量子化方法。其实不仅量子理论，经典理论本身也一样，比如经典 Newton 引力就有许多推广，以 Newton 引力为共同的弱场极限，广义相对论只是其中之一。在一个本质上是量子化的物理世界中，理想的做法应该是从量子理论出发，在量子效应可以忽略的情形下对理论作 “经典化”，而不是相反。从这个意义上讲，量子引力所遇到的困难其中一部份正是来源于我们不得不从经典理论出发，对其进行 “量子化” 这样一个无奈的事实。

五. Loop Quantum Gravity

传统的量子引力方案的共同特点是继承了经典广义相对论本身的表述方式，以度规场作为基本场量。一九八六年以来，A. Ashtekar 等物理学家借鉴了几年前 A. Sen 的研究工作，在正则量子化方案中引进了一种全新的表述方式，以自对偶自旋联络 (self-al spin connection) 作为基本场量 (这组场量通常被称为 Ashtekar 变量)，由此为正则量子引力的研究开创了一番新的天地。同年 T. Jacobson 和 L. Smolin 发现 Ashtekar 变量的 Wilson loop 满足 Wheeler-DeWitt 方程。在此基础上 C. Rovelli 和 Smolin 提出把这种 Wilson loop 作为量子引力的基本态，从而形成了现代量子引力理论的一个重要方案: Loop Quantum Gravity。

Loop Quantum Gravity 完全避免使用度规场，从而也不再引进所谓的背景度规，因此被称为是一种背景无关 (background independent) 的量子引力理论。一些物理学家认为 Loop Quantum Gravity 的这种背景无关性是符合量子引力的物理本质的，因为广义相对论的一个最基本的结论就是时空度规本身由动力学规律所决定，因而量子引力理论是关于时空度规本身的量子理论。在这样的理论中经典的背景度规不应该有独立的存在，而只能作为量子场的期待值出现。

Loop Quantum Gravity 所采用的新的基本场量绝非只是一种巧妙的变量代换手段。因为从几何上讲，Yang-Mills 场的规范势本身就是纤维丛上的联络场，因此以联络作为引力理论的基本变量体现了将引力场视为规范场的物理思想。不仅如此，自旋联络对于研究引力与物质场 (尤其是旋量场) 的耦合几乎是必不可少的框架，因此以联络作为引力理论的基本变量也为进一步研究这种耦合提供了舞台。 Rovelli 和 Smolin 等人发现在 Loop Quantum Gravity 中由广义协变性 - 也称为微分同胚不变性 (diffeomophism invariance) - 所导致的约束条件与数学上的 “节理论” (knot theory) 有着密切的关联，从而使得约束条件的求解得到强有力的数学工具的支持。 Loop Quantum Gravity 与节理论之间的这种联系看似神秘，其实在概念上并不难理解，微分同胚不变性的存在使得 Wilson loop 中具有实质意义的信息具有拓扑不变性，而节理论正是研究 loop 拓扑不变性的数学理论。

经过十几年的发展，目前 Loop Quantum Gravity 已经具有了一个数学上相当严格的框架。除背景无关性之外，Loop Quantum Gravity 与其它量子引力理论相比还具有一个很重要的优势，那就是它的理论框架是非微扰的。迄今为止在 Loop Quantum Gravity 领域中取得的重要物理结果有两个：一个是在 Planck 尺度上的空间量子化，另一个是对黑洞熵的计算。

空间量子化曾经是许多物理学家的猜测，这不仅是因为量子化这一概念本身的广泛应用开启了人们的想象，而且也是因为一个连续的背景时空看来是量子场论中紫外发散的根源。一九七一年 R. Penrose 首先提出了一个具体的离散空间模型，其代数形式与自旋所满足的代数关系相似，被称为 spin network。一九九四年 Rovelli 和 Smolin 研究了 Loop Quantum Gravity 中的面积与体积算符的本征值，[注五] 结果发现这些本征值都是离散的，它们对应的本征态和 Penrose 的 spin network 存在密切的对应关系。以面积算符为例，其本征值为：

A = Lp2 ∑l [Jl (Jl + 1)]1/2

式中 Lp 为 Planck 长度，Jl 取半整数，是 spin network 上编号为 l 的边所携带的量子数，求和 ∑l 对所有穿过该面积的边进行。这是迄今为止有关 Planck 尺度物理学最具体的理论结果，如果被证实的话，或许也将成为物理学上最优美而意义深远的结果之一。 Loop Quantum Gravity 因此也被称为量子几何 (Quantum Geometry)。对 Loop Quantum Gravity 与物质场 (比如 Yang-Mills 场) 耦合体系的研究显示，具有空间量子化特征的 Loop Quantum Gravity 确实极有可能消除普通场论的紫外发散。

至于黑洞熵的计算，Loop Quantum Gravity 的基本思路是认为黑洞熵所对应的微观态由能够给出同一黑洞视界面积的各种不同的 spin network 位形组成的。[注六] 按照这一思路进行的计算最早由 K. Krasnov 和 Rovelli 分别完成，结果除去一个被称为 Immirzi 参数的常数因子外与 Bekenstein-Hawking 公式完全一致。[注七] 因此 Loop Quantum Gravity 与 Bekenstein-Hawking 公式是相容的。至于它为什么无法给出完全的常数因子以及这一不确定性究竟意味着什么，目前仍在讨论之中。

六. 超弦理论

量子引力的另一种极为流行的方案是超弦理论 (Superstring Theory)。与 Loop Quantum Gravity 相比，超弦理论是一个更雄心勃勃的理论，它的目标是统一自然界所有的相互作用，量子引力只不过是超弦理论的一个部份。超弦理论被许多人称为终极理论 (Theory of Everything - TOE)，这一称谓很恰当地反映了热衷于超弦理论的物理学家对它的厚望。

超弦理论的前身是二十世纪六十年代末七十年代初的一种强相互作用唯象理论。与今天超弦理论所具有的宏伟的理论目标及精深而优美的数学框架相比，它在物理学上的这种登场可算是相当低调。弦理论作为强相互作用的唯象理论很快便由于量子色动力学 (QCD) 的兴起而没落了。但是一九七四年 J.Scherk 和 J. H. Schwarz 发现弦理论的激发态中存在自旋为 2 的无质量粒子。由于早在二十世纪三十年代 M. Fierz 和 W. Pauli 就发现自旋为 2 的无质量粒子是量子化的线性广义相对论的基本激发态， J.Scherk 和 J. H. Schwarz 的这一结果立即改变了人们对弦理论的思考角度，弦理论从此渐渐走上了试图统一自然界所有相互作用的漫漫征途。十年之后，还是 J. H. Schwarz - 和 M. B. Green 等人一起 - 研究了超弦理论的反常消除 (anomaly cancellation) 问题，由此发现自洽的超弦理论只存在于十维时空中，而且只有五种形式，即：Type I, Type IIA, Type IIB, SO(32) Heterotic 及 E8 × E8 Heterotic。这就是著名的 “第一次超弦革命” (First Superstring Revolution)。又过了十年，随着各种对偶性及非微扰结果的发现，在微扰论的泥沼中踽踽而行的超弦理论迎来了 “第二次超弦革命” (Second Superstring Revolution)，其迅猛发展的势头持续至今。

从量子引力的角度来看，Loop Quantum Gravity 是正则量子化方案的发展，而超弦理论则通常被视为是协变量子化方案的发展。这是由于当年受困于不可重整性，人们曾经对协变量子化方法做过许多推广，比如引进超对称性，引进高阶微商项等，这些推广后来都殊途同归地出现在超弦理论的微扰表述中。因此虽然超弦理论本身的起源与量子引力无关，但它的形式体系在量子引力领域中通常被视为是协变量子化方案的发展。

超弦理论的发展及内容不是本文的主题，而且有许多不错的专著和讲义可供参考，就不赘述了。在这些年超弦理论取得的理论进展中，这里只介绍与量子引力最直接相关的一个，那就是利用 D-brane 对黑洞熵的计算，这是由 A. Strominger 和 G. Vafa 等人在一九九六年完成的，与 Loop Quantum Gravity 对黑洞熵的计算恰好在同一年。超弦理论对黑洞熵的计算利用了所谓的 “强弱对偶性” (strong-weak ality)，即在具有一定超对称的情形下，超弦理论中的某些 D-brane 状态数在耦合常数的强弱对偶变换下保持不变。利用这种对称性，处于强耦合下原本难于计算的黑洞熵可以在弱耦合极限下进行计算。在弱耦合极限下与原先黑洞的宏观性质相一致的对应状态被证明是由许多 D-brane 构成，对这些 D-brane 状态进行统计所得到的熵和 Bekenstein-Hawking 公式完全一致 - 甚至连 Loop Quantum Gravity 无法得到的常数因子也完全一致。这是超弦理论最具体的理论验证之一。美中不足的是，由于上述计算要求一定的超对称性，因此只适用于所谓的极端黑洞 (extremal black hole) 或接近极端条件的黑洞。[注八] 对于非极端黑洞，超弦理论虽然可以得到 Bekenstein-Hawking 公式中的正比关系，但与 Loop Quantum Gravity 一样无法给出其中的比例系数。

七. 结语

以上是七十几年来量子引力理论的发展以及近些年取得的若干主要进展的一个速写。除了 Loop Quantum Gravity 和超弦理论这两个主要的候选理论外还有许多其它理论，限于篇幅本文未做介绍。虽然如我们前面所见，这些理论各自取得了一些重要的进展，但距离构建一个完整量子引力理论的目标仍相当遥远。 Loop Quantum Gravity 的成果主要局限于理论的运动学方面，在动力学方面的研究却一直举步维艰，直到目前人们还不清楚 Loop Quantum Gravity 是否以广义相对论为弱场极限，或者说 Loop Quantum Gravity 对时空的描述在大尺度上是否能过渡为我们熟悉的广义相对论时空。按照定义，一个量子理论只有以广义相对论 (或其它经典引力理论) 为经典极限才能被称为量子引力理论。从这个意义上讲我们不仅不知道 Loop Quantum Gravity 是否是一个 “正确的” 量子引力理论，甚至于连它是不是一个量子引力理论都还不清楚！

超弦理论的情况又如何呢？在弱场下超弦理论包含广义相对论，因此它起码可以算是一个量子引力理论的候选者。超弦理论的微扰展开逐级有限，虽然级数本身不收敛，比起传统的量子理论来还是强了许多，算是大体上解决了传统量子场论中的发散困难。在广义相对论方面，超弦理论可以消除部分奇点问题 (但迄今尚无法解决最著名的黑洞和宇宙学奇点问题)。超弦理论在非微扰方面也取得了许多重要的进展。超弦理论具有非常出色的数学框架，以前当学生时曾经听过 B. Greene 的报告，有一句话印象至深， Greene 说：在超弦领域中，所有看上去正确的东西都是正确的！虽是半开玩笑，但很传神地说出了超弦理论的美与理论物理学家 (以及数学家) 的直觉高度一致这一特点。对于从事理论研究的人来说，这是一种令人心旷神怡的境界。但是从超弦理论精美的数学框架下降到能够与实验接触的能区就象航天飞机重返大气层，充满了挑战。超弦理论之所以被一些物理学家视为终极理论，除了它的理论框架足以包含迄今所有的相互作用外，常常被提到的另一个重要的特点是超弦理论的作用量只有一个自由参数！但是超弦理论引进了两个非常重要却迄今未得到实验支持的概念，那就是十维时空和超对称。为了与观测到的物理世界相一致，超弦理论把十维时空分解为四维时空与一个六维紧致空间的直积，这是一个很大的额外假定。超弦理论在四维时空中的具体物理预言与紧致空间的结构有关，因此除非能够预言紧致空间的具体结构 (仅仅预言其为 Calabi-Yau 流形是远远不够的)，描述这种结构的参数就将成为理论隐含的自由参数。超弦理论中的超对称也必须以适当的机制破缺。把所有这些因素都考虑进去之后，超弦理论是否仍满足人们对终极理论的想象和要求，也许只有时间能够告诉我们。

Loop Quantum Gravity 与超弦理论目前还是两个独立的理论，彼此之间唯一明显的相似之处是两者都使用了一维的几何概念作为理论的基础。如果这两个理论都反映了物理世界的某些本质特征，那么这种相似性也许就不是偶然的。未来的研究是否会揭示出这种巧合背后的联系现在还是一个谜。
回答者：nmcnh0424

C. 求证广义相对论中标量场的协变微商就是它的普通微商，且协变微商的结果是一个协变矢量。

很好证的啊，一行就写完了，你最好自己试试。

D. 爱因斯坦的普遍协变的引力场方程 是什么

呵呵
引力场引起的空间弯曲
很麻烦的,双重微积分,还有拉布拉斯算子(好象是,要么就是哈密顿算子,用一个倒三角表示)在里面,这里写不出来.
你有兴趣,而且有条件的话还是去图书馆找本书看一看吧.应该任何一本大学物理(非文科类)书中都会论及的.就怕看不懂.
所以你就大概定性地去了解吧.也就是知道引力场会使空间发生穹曲就行了.

E. 广义相对论的数学公式有哪些

主要是爱因斯坦引力场方程，其数学形式为Rab-0.5gabR=8πTab。式中Rab叫做里奇张量，为上升第四指标的黎曼曲率张量上标和第一或第二下标缩并后的结果。协变矢量两次协变导数交换顺序相减后的结果是黎曼曲率张量和协变矢量的内积。gab叫做度规张量是该方程的待求量，其在某个坐标系的分量是该坐标系基矢量的内积。R叫做曲率标量，是度规张量的逆变分量和里奇张量分量的内积。Tab是能动张量。

具体数学表达式如图

F. 谁知道爱因斯坦广义相对论的公式。

上面几个回答都是狭义相对论的最基本公式，而非广义相对论。
你可以看一下这个网页：http://202.116.65.193/jinpin2005/wuli/web/websource/13.doc
一下使该文件内容，可能有公式贴不上来。

3.1 等效原理
第一章1.7节曾经提到,牛顿万有引力可以用引力场来描述.位于的质点感受到的引力决定于处的引力场,
(3.1)
参数称为引力质量,描写质点对引力场响应的强弱.当质点只受到引力作用而加速运动时,称质点作自由落体运动.例如断了线的升降机,围绕地球转动的月亮等.
根据牛顿第二定律,自由落体的加速度为
(3.2)
参数描写质点被加速的难易程度,称为惯性质量.实验指出,在同样的引力场中,引力使物体产生的加速度与物体的质量无关.这意味着对任意两个物体和有普适的比例常数
(3.3)
不妨令它等于1,即
(3.4)
在牛顿力学中,引力质量和惯性质量是两个性质完全不同的参数.他们严格相等在牛顿力学中没有办法解释.
设想一些彼此相距遥远而且和其他物体相距遥远的质点,因而这些质点不受任何力的作用,故他们相对惯性系没有加速度.考虑一个相对作匀加速运动的参照系.相对于,上述所有质点具有相等而且平行的加速度.静止在的观测者看来,好像参照系没有加速运动,而质点受到一个均匀引力场作用一样(因为惯性质量等于引力质量,所有在均匀引力场中自由落体质点的加速度一样).且不管产生这种引力的原因,从效果上没有任何理由阻止我们认为存在真实的引力场和是一个和惯性系等价的没有加速度的参照系.参照系和在物理上完全等价的假设是爱因斯坦提出来的,称为等效原理.
等效原理使惯性系和非惯性系(相对惯性系加速的参照系)完全平等起来 ,是观念上的极大进步.在这个假设下,无所谓惯性系和非惯性系,参照系都是一样的.质点在不同参照系有不同的行为,只是因为不同参照系引力场的强度不同.注意,我们这里说"引力场的强度不同"而不说"引力场不同",是希望避免与"引力场是一种客观存在,因此与参照系无关"相矛盾.我们仍然可以认为引力场是一种与参照系无关的客观存在,但它在不同的参照系种表现出不同的强度.在狭义相对论中,我们遇到过类似的例子:一把尺子是客观存在,但在不同惯性系却可以表现出不同的长度.我们将稍后再讨论引力场和空间几何的关系,以及为什么会出现引力场.
显然不是所有引力场都可以通过简单的加速参照系变换来抵消.例如没有一个加速参照系能看到完全为零的地球引力(习题【3.1】).引力和加速度的等效性是局域的.爱因斯坦假设,在质点所在的无穷小空间邻域中,引力场被质点的自由落体运动完全抵消掉,固定在该质点上的参照系对该质点附近的无穷小邻域而言是一惯性系,其中引力等于零,狭义相对论成立.
等效原理:
(1)均匀引力场等效于一个加速参照系中的惯性力场;
(2)固定在自由落体上的参照系是一个局域惯性系.
3.2 弯曲空间
◆爱因斯坦转盘
在惯性系中制备的一些相同的尺子(每把尺的长度为米),分别沿半径和圆周摆放.
设圆盘相对地面静止时需要用把尺子摆满半径,把尺子摆满圆周.按照欧几里德几何,周长和半径之比为
(3.5)
当圆盘以角速度转动时,圆周处的线速度为.因为转盘是一非惯性参照系,我们现在还不知道非惯性参照系的时空几何学和其他所有自然定律,只能通过地面惯性系的测量来推断转盘上的规律.根据狭义相对论(参见第二章例2-2),在地面惯性系中测得圆周上的尺子长度为
(3.6)
因此转动圆盘上的人需要多一些尺子才能摆满圆周,设需要尺子的数目为().对于转盘上的人,有两种观点可选择:1)仍然采用地面惯性系的长度标准,以不转动的尺子为长度单位;认为转盘上同样的尺子在不同的位置具有不同的长度,而圆盘转动时圆周的长度和静止时一样,即 ;2)不管尺子作惯性运动抑或非惯性运动,坚持同样的尺子在任何情况下都代表同样的长度(把它作为转盘参照系中的长度单位);因而圆盘转动时圆周的长度和静止时的不一样.对于转盘参照系,按第一种观点,本质相同的尺子在不同位置具有不同的长度,转盘上的人做长度测量时需要考虑另一个固定的参照系.而按第二种观点,尺子的长度与它所处的位置及运动状态无关,长度的测量与单个参照系有关.因为第二种观点避免了一种特殊的有优越性的参照系,所以显得自然一些.
在地面惯性系中测得沿半径摆放在转盘上的尺子长度不变,仍为,因此摆满半径所需的尺子数目仍为.如果转盘上的人采用第二种观点,即认为标准尺的长度是不变的,就会得量出周长和半径的比为
(3.7)
依这种观点,转盘参照系的几何不是欧几里德几何.
再考虑两个相同的时钟,一个放在圆心,一个放在圆周.按照狭义相对论(参见第二章例2-1),当圆盘转动时,地面惯性系的观察者将看到圆周的时钟走得慢一些.离圆心越远,时钟越慢.和前面关于尺子和长度测量的讨论相似,转盘上的观察者可以自然地认为时钟的时间单位(比如一个时钟周期)没有变,仍然代表同样地时间间隔,但转盘上的观察者测量得圆周上的时间较之圆心的变慢了.
■
在转盘上引入非欧几何不是必须的,因为转盘相对一个惯性系转动,一切时间和尺度都可以用惯性系中的时间和尺度,空间几何以惯性系的欧几里德几何为准,即和上两章那样赋予惯性系特殊优越的地位.
但是等效原理告诉我们,圆盘的加速运动等效于引力场.因此引力场同样可以使空间变成非欧几里德空间.存在不能通过参照系变换使之处处为零的引力场,它的效应不能通过参照系变换从全空间消除掉,故对这样的引力场非欧几里德几何是必须的.
为了容易想象弯曲空间,我们假设空间是二维的.图3-2是弯曲空间的一个例子.把曲面镶嵌在高维欧几里德空间,用高维空间(三维空间)的笛卡儿坐标描写曲面是可以的.但高斯提出一种更漂亮的描写方法,即在曲面上直接建立曲线坐标.高斯的方法只使用曲面的内禀性质描写曲面的几何,不需要人为地增加内容,类似于广义相对论只在一个参照系描写空间结构(和物理规律),优越性是明显的.
A
A M

B B

我们所讨论的曲面假定是连续可微的,每一点附近的小邻域可以用一平面(图3-3b中的M)近似.在数学上这种曲面称为二维微分流形.图3-2a的苹果如果没有破皮,而且把蒂去掉,其表面就很接近一个2维微分流形.
普遍地,可以把流形想象为一个局部光滑的空间,空间任一点的邻近区域均近似为欧几里德空间.这意味着可以在流形的任一小区域中建立局域的笛卡儿坐标,为流形的维数.对小区域中的两点可以根据欧几里德几何引入距离的概念,无穷小距离平方定义为
(3.8)
对笛卡儿坐标作任意连续可微变换
(3.9)
代入(3.8)得维流形的间隔平方可写成
(3.10)
其中函数由流形的几何性质和所选坐标架所决定,称为度规矩阵,或简称度规,
(3.11)
有了之后,流形便有确定的形状和距离的概念,即确定流形的度量性质.具有度规的流形称为黎曼流形.
◆例3-1 求球面流形的度规.
【解】采用球坐标,设球的半径为.易见
(例3.1)
所以
,, (例3.2)

■
物理四维时空流形有类似黎曼流形的性质.观察者在引力场中作自由落体运动,他附近的小邻域里不存在引力场.因此总能将时空流形的一个小邻域当作欧几里德区域,在那里建立惯性参照系(自由落体参照系),其中狭义相对论成立.根据狭义相对论,两个无限接近事件的间隔,即(3.10)式定义的,是一个不变量,与局域惯性系的选择无关.按照度规的定义,在任意连续可微坐标变换下亦也不变(习题【3.2】).任意物理的参照系变换都可以用连续可微坐标变换给出,所以在任意局域参照系变换中不变.这些变换可以是非线性的,非均匀的.局域欧几里德并不意味有限范围空间的几何也是欧几里德的,不同的几何由不同的度规张量场表现出来(所谓张量场就是给每点都指定一个度规张量).度规场反映了参照系的不同选择,也反映了空间的几何结构.最简单的度规矩阵为单位矩阵,
(3.12)
当度规矩阵为单位矩阵时,参照系为局域惯性系,在其适用的局域范围内引力场强度为零.经非线性坐标变换后,单位度规矩阵变成非单位矩阵,它对单位矩阵的偏离代表非零的引力强度.因此是和引力场相联系的.
曲面的整体拓扑性质也是很有趣的.存在非平庸拓扑的曲面,它不可能通过连续可微坐标变换把整个曲面变成平坦的.球面就是一个非平庸拓扑的曲面.相反,圆柱面是可以通过坐标变换变成平坦的.根据引力和几何的关系,如果空间是二维的球面,则空间必须存在引力场;如果空间拓扑和圆柱面一样,则整个空间原则上(数学上)可以没有引力场.
3.3 弯曲空间的矢量分析
(1)张量的定义
考虑一般坐标变换
(3.13)
无限小位移在一般坐标变换下如下式变换:
(3.14)
重复指标均隐含求和,以后不再特别声明.
按定义,反变矢量由四个分量组成,它的分量在坐标变换下如(3.14)式一样变换
(3.15)
曲线的切线(例如图3-2b曲线AB的切线),选择适当参数就是四维速度矢量
(3.16)
易见它是一个反变矢量(在坐标变换下不变).
由四个分量组成的对象,其分量在坐标变换下如下式变换:
(3.17)
则称它为协变矢量.注意我们总是用上标表示反变矢量,下标表示协变矢量.
反变矢量和协变矢量可以合起来构成一个标量
(3.18)
易证,在坐标变换下不变.
所有张量都通过它的分量的变换方式来定义.例如的变换方式为
(3.19)
(2)基本张量——度规张量
度规矩阵是对称的协变张量.
◆【证明】
(3.20)
在新坐标中,
(3.21)
因为是不变间隔,所以.比较(3.20)和(3.21)得
(3.22)
故是一个协变张量,称为协变度规张量.
(3.22)可以写成
(3.23)
最右边的式子由中间的式子同时改变求和指标的名称而得到.(3.22)减上式得
上式对任意小量成立,故,即度规张量是对称的.
■
度规矩阵的逆矩阵由下式定义,
(3.24)
因为的两个指标都按(3.15)式变换,故称为反变度规张量.易见它也是对称的.
有了协变和反变度规张量,我们可以把反变矢量(指标)和协变矢量(指标)一一对应起来,
, (3.25)
, (3.26)
因此,一个矢量既可以用反变矢量表示也可以用协变矢量表示,分别称为矢量的两个表象:反变表象和协变表象.例如,我们把(3.25)式中的和看作同一个矢量的两种表示.
(3)不变体积微元
度规矩阵的行列式记为.可证,
(3.27)
其中是从坐标变到坐标的雅戈比行列式,
(3.28)
右边指标是矩阵元的行指标,为列指标.
雅戈比行列式也出现在体积微元的变换中,
(3.29)
因此,在坐标变换下不变,称为不变体积微元.
(3.30)
(4)矢量平行移动与仿射联络
如何比较空间不同点的两个矢量呢
这件事在平直的欧几里德空间是容易办到的:把其中一个矢量平行移动到另一个矢量的位置,再按平行四边形法则求他们的差.因为一个笛卡儿坐标架可以描写整个平直空间,故所谓矢量的平行移动,可以理解为矢量各个分量保持不变的移动.
但在弯曲空间,不同点的矢量之间不存在内禀的平行概念.为了确定不同点的矢量平行与否,必须规定一种平行移动的法则.图3-4直观地说明一种可能的平行移动法则——仿射联络.图3-4(a)中,一个与球面切于北极(a)点的矢量沿大弧abc移动,在移动过程中矢量保持它的长度和与弧线abc相切的特征.可以合理地认为矢量在这个过程中作平行移动.再看图3-4(b),北极上同样的矢量,沿另一条大弧adc移动,在移动过程中保持与球面相切并和弧线adc的切线正交的特征.可以同样合理地认为这个过程是对矢量的平行移动.但是我们看到两个过程在南极c点产生的矢量是不同的.可见没有办法在整个球面一致地定义矢量的平行.但是沿一条给定曲线平行移动矢量是可以无歧义地定义的.粗略地说,仿射联络是一种平行移动的法则,矢量按此法则沿一条曲线移动时方向不改变.
a a
b d
c c

在无限小的区域,弯曲空间近似平直,因此和欧几里德空间的情形相似,矢量的无限小平行移动由初始矢量和位移矢量所确定.示意于图3-5.

考虑处一反变矢量,利用处坐标架的单位方向矢量可把矢量可写成
(3.31)
矢量被平行移动到处,成为该处的一个反变矢量.
(3.32)
把平行移动引起的矢量分量的变化写成
(3.33)
则
(3.34)
其中带有三个指标的函数称为仿射联络(克里斯托菲(Christoffel)符号).矢量必须象矢量一样变换,这要求具有下面的变换性质,
(3.35)
可见,不是一个张量.至此,除了(3.35)式的限制外,没有其他限制.易见,如果原来的对两个下标是对称的,经过任意变换后这种对称性仍然保持.对平直的欧几里德空间,等于零,所以对其下标一定是对称的.我们假定物理时空每一局域都可以用欧几里德空间近似,是所谓黎曼流形,故只需考虑的情形(数学上称为无挠性).物理时空是有距离概念的,可以如(3.11)那样引入度规张量场.能够保证矢量的标积在平移时保持不变的唯一地被度规张量所确定,
(3.36)
(5)协变微分
考虑反变矢量场.普通微分不是一个张量,因为在坐标变换下,
(3.37)
第一项如张量一样变换,但第二项不是.
我们要在同一地点求矢量的差才能得到矢量.为了反映矢量场局域空间变化,用处的矢量减(由从平移到所得的矢量,见(3.34)),
(3.38)
这是一个反变矢量,称为反变矢量场的协变微分.在最后的等式中我们忽略了二阶以上的无限小量.
(3.38)式最后一行的中括号定义为反变矢量的协变导数,
(3.39)
右边两项分别都不是张量,但合起来却是一个张量.以后"分号"一般都表示协变导数.如果空间是平坦的,可以选取不随时空点变化的度规张量,使得仿射联络等于零(见(3.36)),此时协变导数和普通导数一样.因为广义相对论中允许在不同时空点采用不同的参照系,不同的坐标架,所以需要(3.39)式右边的第二项才能保证(3.39)式具有张量的变换性质.
协变微分可以表示为
(3.40)
如果,则是平移得到的矢量.
类似可以得到协变矢量的协变导数
(3.41)
注意(3.39)和(3.41)式第二项符号的差别.
协变导数和普通导数一样有莱布尼兹求导公式
(3.42)
类似推理可以得到张量的协变导数,
(3.43)
对张量求协变导数的规律是:第一项是普通导数;然后张量的每一个指标都对应有一项,由和张量相乘得到,上标为负,下标为正.注意上下指标的配合就可以写出正确的协变导数.标量也服从这个规则,因为标量没有指标,故只有普通导数项.
(3.44)
一个重要的结果是,度规张量的协变导数等于零(习题【3.3】),
(3.45)
(6)曲率张量
如何知道空间在某一点附近是弯曲的呢
A
A s
s
B
B C C

在平直空间,把矢量沿一闭合回路平行移动一周,矢量方向和大小都不变.例如图3-6a中的矢量沿路径ABCA平行移动一周.在弯曲空间,如图3-6b,矢量沿回路(图中的ABCA)平行移动一周后,和原来出发时的矢量不一样.这是空间弯与不弯的根本差别.
考虑弯曲空间的一个无限小平行四边形,一反变矢量沿四边形边界平行移动一周.如图3-7.

可以证明,当矢量平行移动回到时,矢量的改变量为
(3.46)
推广到任意回路,上式成为
(3.47)
即沿无限小回路平移一周后,矢量的改变正比于原矢量以及回路所围的面积,其比例系数称为四阶黎曼曲率张量,由仿射联络及其导数给出,
(3.48)
空间平坦的充分必要条件是四阶黎曼曲率张量等于零.四阶黎曼曲率张量满足一个重要的数学恒等式,称为毕安基(Bianchi)恒等式,
(3.49)
对的指标和缩并,得到一个二阶里兹(Ricci)张量
(3.50)
总曲率(标量)等于里兹张量的缩并(先用度规张量把里兹张量的一个指标提起来)
(3.51)
◆例3-2 在半径为的球面上,采用球坐标和.度规张量已在例3.1中给出.求仿射联络和曲率标量.
【解】仿射联络的非零分量有:
, (例3.3)
曲率标量为
(例3.4)
■
3.4 短程线
以上3.2和3.3节基本上是数学内容.现在回到物理问题:在引力作用下质点的运动.
根据爱因斯坦的设想,当空间的几何知道后,自由质点(除了引力之外,不受其它力作用的质点)的运动便由空间的几何完全确定了.先介绍可以通过空间内禀性质定义的一种特别曲线——短程线.
给定一个初始位置和一个初始速度,可以按以下规则在弯曲空间中画出一条唯一的曲线.如(图3-8),(1)从A点的坐标和速度矢量可以得到下一时刻的位置B;(2)沿速度方向将A点的速度矢量平行移动到B点,得到B点的速度矢量;如此类推便可得到整条曲线(图3-8).这样通过空间几何(由仿射联络给定)自然定义的曲线称为短程线.
A
B
C …

A:,
B:,
C:,
若质点沿短程线运动,则四维速度矢量作平行移动.可以认为短程线上各点的速度是同一个矢量(同一个矢量放在时空不同的位置可以有不同的分量,因为坐标架变了).这种运动相当于平坦空间的惯性运动.作为伽利略惯性定律的自然推广,广义相对论假设:自由落体沿短程线运动.
按照这一假说,质点作自由落体运动位移无限小距离之后,速度分量的改变等于速度矢量平行移动同样距离的分量变化.在(3.33)中取为四维速度,即取,便得到
(3.52)
设质点平移所需原时(固有时)为,上式可写为
(3.53)
或
(3.54)
此即短程线方程,即仅受引力作用的质点运动方程,它决定自由落体质点的加速度.
可证,如果质点从一点移动到另一点的路径是短程线,则移动过程所用原时取极值(附录3-1).因为这个原因,我们称这样的路径为短程线.
B

A

数学上,原时取极值的路径所满足的方程(3.54)可以通过变分方法求得
(3.55)
因为光速是最高速度,质点的初始四维速度矢量是类时的,在运动过程中也一定是类时的,因此,即对任意物理运动,原时都是正的.
3.5 爱因斯坦引力场方程
引力就是空间的弯曲.而空间的弯曲由度规场描写,因此度规场等价于引力场.现在要回答一个关键的问题:如何确定引力场(即)呢 依据有三:
1. 广义协变性原理:物理学方程在所有参照系中形式不变;
2. 引力场方程是定域的——是一组偏微分方程,而且关于的偏微分应该不高于二阶;
3. 在弱引力低速运动的情形回复到牛顿引力理论.
回忆牛顿引力理论,放在原点质量为的质点在产生的引力势(第一章(1.31)式)
(3.56)
此式和点电荷产生的库仑势比较,数学形式是一样的.质量对应于电荷,表示质量能产生引力场.有一定空间分布的质量(质量密度为)产生的引力场可以由(3.56)式的积分得到
(3.57)
可证它满足泊松方程,
(3.58)
这是牛顿的引力场方程.方程的左边是关于引力场的二阶微分方程,右边是物质的密度.这个特征应该反映在广义相对论的引力方程中.(3.58)不含时间,可以认为是物质静止参照系中引力场方程的某种近似.在运动的惯性系中,物质密度变成物质流密度(单位时间流过单位横截面积的质量).在狭义相对论中,质量即能量,故场方程的右边和物质的能量密度和能流密度有关.而单独的能量和能流密度不能形成协变的四维张量.对连续分布的物质,与物质的能量密度和能流有关的张量是物质的能量-动量密度张量.所谓"物质的"是指引力场之外的能量和动量,以后我们简称它为能量-动量密度张量.是一个对称的二阶协变张量,对应能量密度,()对应方向的能量密度流或方向的动量密度(他们成正比),()对应方向的动量密度沿方向的流.这里用"对应"一词是因为可能相差比例常数.能量-动量密度张量的具体形式要知道相互作用的理论才能写出来.能量-动量守恒定律表示为
(3.59)
事实上因为协变导数中除了普通导数外还有仿射联络项,物质能量-动量并不严格守恒.能量-动量可以在物质和引力场之间交换.
让出现在场方程的右边,左边应该是一个与引力场(度规)有关的二阶张量,它的协变微分等于零.这个张量只能含有度规的二阶偏导数.爱因斯坦找到这个张量,
(3.60)
可以证明它的协变微分等于零.把它和能量动量密度张量联系起来,得到著名的爱因斯坦广义相对论引力场方程
(3.61)
为牛顿引力常数.右边系数的选择使得方程在弱引力场和缓变近似下回复到牛顿引力理论(附录3-2).爱因斯坦最早写出的方程还多出一项,
(3.62)
最后一项称为宇宙项,为宇宙常数.宇宙项不违反上述对场方程的一般性要求,也没有物理上的理由排除它.爱因斯坦当年希望得到一个宇宙的稳态解,所以加上这一项.1922年弗里德曼(A. Friedmann)发现,如果宇宙的曲率半径是时间的函数,则可以不加入宇宙项.爱因斯坦为此很后悔加上了宇宙项.但最近的实验表明,宇宙常数很可能不等于零,而且是一个非常大的数,不过它只在非常大的宇宙尺度引起物理效应.
注意,能量-动量密度张量不包含引力的贡献.在所谓真空(除引力场无其他物质)中,场方程(3.61)成为
(3.63)
这是关于引力场的非线性二阶偏微分方程.真空场方程除了平庸的平坦空间解外,还有引力波解.引力波的存在至今还没有得到实验直接证实.
关于广义相对论更详细的初级读物有郑庆璋,崔世治编著的《广义相对论基本教程》(中山大学出版社1991).
习题
【3.1】简单说明地球的引力不能被转动坐标系抵消.
【3.2】按照度规的定义(3.11)式,证明在任意连续可微坐标变换下不变.
【3.3】度规张量的协变导数等于零,即(3.45)式.
【3.4】推导例3-2的结果.

G. 什么是广义协变原理

广义协变原理就是广义相对性原理是广义相对论的两个基本
原理之一，是狭义相对论中的相对论原理的推广，这也正是
广义与狭义名字上区别的由来。

狭义相对性原理：

一切物理定律（引力除外）在惯性参考系中保持相同的形式。

广义相对性原理：

一切物理定律在一切参考系中保持相同的形式。

这里要解释几个名词

参考系：就是以一定方式运动的观察者，他可以定义时空坐标来描述
事件发生的时间和地点，在我们的3+1维时空，这种描述需要
4个实数。当然这种坐标的定义方式是任意的，每种定义方式
可以叫做一个坐标系。
惯性系：一个参考系，如果其中的物体满足在合力为零的情况下保持匀
速运动或静止状态，那么这个参考系就叫做惯性参考系。

物理定律：就是一些物理量和另一些物理量之间的相等关系。

为了满足相对性原理，就要对物理定律的形式做出修改，否则连普通的
力学都不满足这个原理。最简单的例子就是在非惯性系中的牛顿力学，
还记得相对加速度，牵连加速度，科氏加速度这些名词吧，当年我可是
被绕了够呛。跟惯性系的牛顿定律比，它们显然不是一个形式。为什么
会这样呢？因为坐标变换后，物理量一般不会保持原来的值，而是要变
化，变化的方式当然跟坐标变换的方式有关了，所以原来相等的关系可
能就会不等了。
按照这样的思路，如果把物理定律表示成这样的等式，它的两边在
坐标变换下按照相同的规律变化，那么原来相等的东西变换后也一定相
等，这样就可以得到符合广义相对性原理的物理定律的形式。下面的任
务就是研究物理量在坐标变换下如何变化了，只要把按照相同规律变化
的物理量放到一起组成物理定律，问题就解决了。
物理量随坐标系的变换很复杂，有的量不随坐标系变化，比如质点
的质量，这种量很容易对付，他们在坐标变换下不变，可以认为已经满
足了广义协变原理，所以不必考虑。有的不仅与自身在原坐标系中的值
有关，还和其他的量有关，这样就必须把这些相互关联的一组量同时加
以考虑。我们的经验发现，同时变化的量的个数、都是空间维数的某个
自然数幂，考虑到前面说的不随坐标变换变化的量，它的个数是1，所以
幂次是0，所以同时变化的量的个数、都是空间维数的某个非负整数幂。
根据这个幂次的不同，可以对物理量进行分类。首先，把这种按一定规
律随坐标系变化而变化的物理量组称为张量，如果张量中物理量的个数
是空间维数的n次幂，就把这个张量叫做n阶张量。
阶数相同的张量具有相同的个数（废话！）和变换规律，所以最后
的方程应当由阶数相同的张量来组成。我们把物理定律在一个参考系下
用张量方程写出来，就可以知道它在一切其他参考系下也是这样的形式，
只不过，要用经过变换的张量来代替原来的。现在唯一的问题是，张量
在坐标表换下如何变化？
下面不得不写点数学公式了。设原坐标系Xi，i是坐标编号，应该是
从0到3，新坐标系是X'i(Xi),写成函数形式表示他们的变换关系。0阶张
量就不说了，它们不变。对于一阶张量Ai，变换关系有两种：
A'i=Aj*dX'i/dXj A'i=Aj*dXi/dX'j
先解释一下，这两个式子应用了爱因斯坦求和约定，即相同的下标表示
对此下标从0到3求和，这个式子里的j就是这样的下标。在此约定下，张
量方程可以写成很简单的形式。回到主题上来，这两种1阶张量是不同的
前一种叫做1阶逆变张量，后一种叫做1阶协变张量。对于更高阶的张量，
因为有4^n个，所以要引入n个从0到3的下标将它们适当的编号,使得他们
满足变换关系类似的，不过要注意，此时有的下标满足逆变的变换关系，
有的满足协变的，这种就叫做混合张量，一般写成(p,q)型张量，表示有
p个逆变下标，q个协变下标。举例来说，(1,1)型张量的变换关系是：
A'{i1,i2}=A{j1,j2}*dX'i1/dXj1*dXi2/dX'j2
其他型号的张量也可类似的写出变换关系，说白了就是原张量的某个线
性和。为了书写上的方便，逆变指标写在右上角，协变指标写在右下角
，不过bbs上无法用角标，我就用下面的方式代替了，花括号表示指标集
，;前面的是逆变指标，后面的是协变指标：A{i1;i2},B{i,j;k,l,m}等
等。
还有几个问题：
为什么是线性和？是因为从对称性的角度变换和逆变换的形式应当
一样，所以只能是线性变换。
为什么是齐次的？是因为非齐次项没有作用，方程两边都有，所以
就减掉了。
变换系数为什么只有这两种？还是从逆变换的角度考虑变换方程的
形式应当不变，这样自然可以推出系数。

张量的分类与变化规律就这样结束了。有了这些，就可以写出满足
广义写变性要求的物理定律了。

总之一句话，广义相对性原理要求物理定律用张量方程。这就是广
义相对性原理的唯一作用。

H. 协变的概念

协变（covariant）
在量子力学中，Schrödinger波动方程，只在笛卡尔坐标系中适用，因为微商不能协变

I. 量子力学隐含了时间和空间的存在吗

“量子力学隐含地假定时间和空间的存在”。好吧，在你想提到的任何公式中，这可能是对的，但这条线有一个潜在的重大漏洞，人们可以意识到时间、空间、物质和能量是潜在量子态的突发特征。我们习惯于思考某物的量子理论。例如，在势阱中点粒子的量子理论中，理论的状态空间可以用一些能量本征基来表示，动力学是由哈密顿函数编码的，根据薛定谔方程，时间演化是幺正的。

一个完全可行的问题是:我能否把上面的逻辑颠倒过来，粗略地说，把时间、空间等特征纯粹地从抽象的状态空间中显现出来?这个问题的答案可能是肯定的，更重要的是有一些很好的理由认为这可能是自然在基本层面上的运作方式。

我为什么要这么做呢这和问题有什么关系呢?一段时间以来，我们已经知道在量子纠缠和时空接近之间存在着一种惊人的关系。在任何情况下(据我所知)，这一点都没有AdS/CFT通信更明显。就像Van Raamsdonk几年前所争论的那样，如果我拿两个CFT副本并以某种方式缠绕它们，那么这两个CFT(你可能会认为，每一个都是空AdS的对偶)实际上是一个连通的双面(AdS)黑洞的对偶!此外，如果增加cft之间的纠缠量，对偶几何会更紧密。由此得出的逻辑结论是伦纳德·苏斯金德提出的“ER = EPR”猜想，其中他声称EPR纠缠对字面上等同于连接粒子的量子wormole(或ER:爱因斯坦-罗森桥!)

所以基本上，Sean Carroll的想法听起来有点像AdS/CFT的方式，以及相关的见解，告诉我们时空可能纯粹从量子力学的纠缠中出现!

J. 什么是协变啊

协变（covariant）
一个物理定律以某方程式表示时，若在不同的坐标中，该方程式的形式一律不变，则称该方程式为协变。协强，没有这个概念广义协变原理就是广义相对性原理是广义相对论的两个基本
原理之一，是狭义相对论中的相对论原理的推广，这也正是
广义与狭义名字上区别的由来。

狭义相对性原理：

一切物理定律（引力除外）在惯性参考系中保持相同的形式。

广义相对性原理：

一切物理定律在一切参考系中保持相同的形式。

这里要解释几个名词

参考系：就是以一定方式运动的观察者，他可以定义时空坐标来描述
事件发生的时间和地点，在我们的3+1维时空，这种描述需要
4个实数。当然这种坐标的定义方式是任意的，每种定义方式
可以叫做一个坐标系。
惯性系：一个参考系，如果其中的物体满足在合力为零的情况下保持匀
速运动或静止状态，那么这个参考系就叫做惯性参考系。

物理定律：就是一些物理量和另一些物理量之间的相等关系。

为了满足相对性原理，就要对物理定律的形式做出修改，否则连普通的
力学都不满足这个原理。最简单的例子就是在非惯性系中的牛顿力学，
还记得相对加速度，牵连加速度，科氏加速度这些名词吧，当年我可是
被绕了够呛。跟惯性系的牛顿定律比，它们显然不是一个形式。为什么
会这样呢？因为坐标变换后，物理量一般不会保持原来的值，而是要变
化，变化的方式当然跟坐标变换的方式有关了，所以原来相等的关系可
能就会不等了。
按照这样的思路，如果把物理定律表示成这样的等式，它的两边在
坐标变换下按照相同的规律变化，那么原来相等的东西变换后也一定相
等，这样就可以得到符合广义相对性原理的物理定律的形式。下面的任
务就是研究物理量在坐标变换下如何变化了，只要把按照相同规律变化
的物理量放到一起组成物理定律，问题就解决了。
物理量随坐标系的变换很复杂，有的量不随坐标系变化，比如质点
的质量，这种量很容易对付，他们在坐标变换下不变，可以认为已经满
足了广义协变原理，所以不必考虑。有的不仅与自身在原坐标系中的值
有关，还和其他的量有关，这样就必须把这些相互关联的一组量同时加
以考虑。我们的经验发现，同时变化的量的个数、都是空间维数的某个
自然数幂，考虑到前面说的不随坐标变换变化的量，它的个数是1，所以
幂次是0，所以同时变化的量的个数、都是空间维数的某个非负整数幂。
根据这个幂次的不同，可以对物理量进行分类。首先，把这种按一定规
律随坐标系变化而变化的物理量组称为张量，如果张量中物理量的个数
是空间维数的n次幂，就把这个张量叫做n阶张量。
阶数相同的张量具有相同的个数（废话！）和变换规律，所以最后
的方程应当由阶数相同的张量来组成。我们把物理定律在一个参考系下
用张量方程写出来，就可以知道它在一切其他参考系下也是这样的形式，
只不过，要用经过变换的张量来代替原来的。现在唯一的问题是，张量
在坐标表换下如何变化？
下面不得不写点数学公式了。设原坐标系Xi，i是坐标编号，应该是
从0到3，新坐标系是X'i(Xi),写成函数形式表示他们的变换关系。0阶张
量就不说了，它们不变。对于一阶张量Ai，变换关系有两种：
A'i=Aj*dX'i/dXj A'i=Aj*dXi/dX'j
先解释一下，这两个式子应用了爱因斯坦求和约定，即相同的下标表示
对此下标从0到3求和，这个式子里的j就是这样的下标。在此约定下，张
量方程可以写成很简单的形式。回到主题上来，这两种1阶张量是不同的
前一种叫做1阶逆变张量，后一种叫做1阶协变张量。对于更高阶的张量，
因为有4^n个，所以要引入n个从0到3的下标将它们适当的编号,使得他们
满足变换关系类似的，不过要注意，此时有的下标满足逆变的变换关系，
有的满足协变的，这种就叫做混合张量，一般写成(p,q)型张量，表示有
p个逆变下标，q个协变下标。举例来说，(1,1)型张量的变换关系是：
A'{i1,i2}=A{j1,j2}*dX'i1/dXj1*dXi2/dX'j2
其他型号的张量也可类似的写出变换关系，说白了就是原张量的某个线
性和。为了书写上的方便，逆变指标写在右上角，协变指标写在右下角
，不过bbs上无法用角标，我就用下面的方式代替了，花括号表示指标集
，;前面的是逆变指标，后面的是协变指标：A{i1;i2},B{i,j;k,l,m}等
等。
还有几个问题：
为什么是线性和？是因为从对称性的角度变换和逆变换的形式应当
一样，所以只能是线性变换。
为什么是齐次的？是因为非齐次项没有作用，方程两边都有，所以
就减掉了。
变换系数为什么只有这两种？还是从逆变换的角度考虑变换方程的
形式应当不变，这样自然可以推出系数。

张量的分类与变化规律就这样结束了。有了这些，就可以写出满足
广义写变性要求的物理定律了。

总之一句话，广义相对性原理要求物理定律用张量方程。这就是广
义相对性原理的唯一作用。