张量两次协变微商怎么求

❶ 协变张量和逆变张量是什么

协变张量是满足协同变换规律的张量，逆变张量是满足逆协同变换规律的张量。前者的指标在下面，后者的指标在上面。

❷ 什么是协变啊

协变（covariant）
一个物理定律以某方程式表示时，若在不同的坐标中，该方程式的形式一律不变，则称该方程式为协变。协强，没有这个概念广义协变原理就是广义相对性原理是广义相对论的两个基本
原理之一，是狭义相对论中的相对论原理的推广，这也正是
广义与狭义名字上区别的由来。

狭义相对性原理：

一切物理定律（引力除外）在惯性参考系中保持相同的形式。

广义相对性原理：

一切物理定律在一切参考系中保持相同的形式。

这里要解释几个名词

参考系：就是以一定方式运动的观察者，他可以定义时空坐标来描述
事件发生的时间和地点，在我们的3+1维时空，这种描述需要
4个实数。当然这种坐标的定义方式是任意的，每种定义方式
可以叫做一个坐标系。
惯性系：一个参考系，如果其中的物体满足在合力为零的情况下保持匀
速运动或静止状态，那么这个参考系就叫做惯性参考系。

物理定律：就是一些物理量和另一些物理量之间的相等关系。

为了满足相对性原理，就要对物理定律的形式做出修改，否则连普通的
力学都不满足这个原理。最简单的例子就是在非惯性系中的牛顿力学，
还记得相对加速度，牵连加速度，科氏加速度这些名词吧，当年我可是
被绕了够呛。跟惯性系的牛顿定律比，它们显然不是一个形式。为什么
会这样呢？因为坐标变换后，物理量一般不会保持原来的值，而是要变
化，变化的方式当然跟坐标变换的方式有关了，所以原来相等的关系可
能就会不等了。
按照这样的思路，如果把物理定律表示成这样的等式，它的两边在
坐标变换下按照相同的规律变化，那么原来相等的东西变换后也一定相
等，这样就可以得到符合广义相对性原理的物理定律的形式。下面的任
务就是研究物理量在坐标变换下如何变化了，只要把按照相同规律变化
的物理量放到一起组成物理定律，问题就解决了。
物理量随坐标系的变换很复杂，有的量不随坐标系变化，比如质点
的质量，这种量很容易对付，他们在坐标变换下不变，可以认为已经满
足了广义协变原理，所以不必考虑。有的不仅与自身在原坐标系中的值
有关，还和其他的量有关，这样就必须把这些相互关联的一组量同时加
以考虑。我们的经验发现，同时变化的量的个数、都是空间维数的某个
自然数幂，考虑到前面说的不随坐标变换变化的量，它的个数是1，所以
幂次是0，所以同时变化的量的个数、都是空间维数的某个非负整数幂。
根据这个幂次的不同，可以对物理量进行分类。首先，把这种按一定规
律随坐标系变化而变化的物理量组称为张量，如果张量中物理量的个数
是空间维数的n次幂，就把这个张量叫做n阶张量。
阶数相同的张量具有相同的个数（废话！）和变换规律，所以最后
的方程应当由阶数相同的张量来组成。我们把物理定律在一个参考系下
用张量方程写出来，就可以知道它在一切其他参考系下也是这样的形式，
只不过，要用经过变换的张量来代替原来的。现在唯一的问题是，张量
在坐标表换下如何变化？
下面不得不写点数学公式了。设原坐标系Xi，i是坐标编号，应该是
从0到3，新坐标系是X'i(Xi),写成函数形式表示他们的变换关系。0阶张
量就不说了，它们不变。对于一阶张量Ai，变换关系有两种：
A'i=Aj*dX'i/dXj A'i=Aj*dXi/dX'j
先解释一下，这两个式子应用了爱因斯坦求和约定，即相同的下标表示
对此下标从0到3求和，这个式子里的j就是这样的下标。在此约定下，张
量方程可以写成很简单的形式。回到主题上来，这两种1阶张量是不同的
前一种叫做1阶逆变张量，后一种叫做1阶协变张量。对于更高阶的张量，
因为有4^n个，所以要引入n个从0到3的下标将它们适当的编号,使得他们
满足变换关系类似的，不过要注意，此时有的下标满足逆变的变换关系，
有的满足协变的，这种就叫做混合张量，一般写成(p,q)型张量，表示有
p个逆变下标，q个协变下标。举例来说，(1,1)型张量的变换关系是：
A'{i1,i2}=A{j1,j2}*dX'i1/dXj1*dXi2/dX'j2
其他型号的张量也可类似的写出变换关系，说白了就是原张量的某个线
性和。为了书写上的方便，逆变指标写在右上角，协变指标写在右下角
，不过bbs上无法用角标，我就用下面的方式代替了，花括号表示指标集
，;前面的是逆变指标，后面的是协变指标：A{i1;i2},B{i,j;k,l,m}等
等。
还有几个问题：
为什么是线性和？是因为从对称性的角度变换和逆变换的形式应当
一样，所以只能是线性变换。
为什么是齐次的？是因为非齐次项没有作用，方程两边都有，所以
就减掉了。
变换系数为什么只有这两种？还是从逆变换的角度考虑变换方程的
形式应当不变，这样自然可以推出系数。

张量的分类与变化规律就这样结束了。有了这些，就可以写出满足
广义写变性要求的物理定律了。

总之一句话，广义相对性原理要求物理定律用张量方程。这就是广
义相对性原理的唯一作用。

❸ 广义相对论的主要内容是什么，公式是什么最好有原文

广义相对论是对牛顿万有引力定律的修正与推广，是用张量语言写成的引力论。它将引力描述成背景时空而不是一种力，一个物体若只受引力作用则在广义相对论看来是自由质点不受力。引力的作用是使直线变得弯曲，数学上体现在度规张量分量非常数，等价于黎曼曲率张量非零，协变导数和普通偏导数不同，克氏符非0等。

其公式主要是引力场方程，其数学形式为Rab-0.5gabR=8πTab。式中Rab叫做里奇张量，为上升第四指标的黎曼曲率张量上标和第一或第二下标缩并后的结果。协变矢量两次协变导数交换顺序相减后的结果是黎曼曲率张量和协变矢量的内积。gab叫做度规张量是该方程的待求量，其在某个坐标系的分量是该坐标系基矢量的内积。R叫做曲率标量，是度规张量的逆变分量和里奇张量分量的内积。Tab是能动张量。

其他的一些相关数学公式如图

❹ 什么是求和约定张量有哪些基本性质

协变（covariant） 一个物理定律以某方程式表示时，若在不同的坐标中，该方程式的形式一律不变，则称该方程式为协变。
协强，没有这个概念广义协变原理就是广义相对性原理是广义相对论的两个基本 原理之一，是狭义相对论中的相对论原理的推广，这

❺ 爱因斯坦广义相对论的场方程，求大神指点

场方程：R_uv-1/2*R*g_uv=κ*T_uv（Rμν-（1/2）gμνR=8GπTμν/（c*c*c*c） -gμν）

这是一个二阶张量方程，R_uv为里契张量表示了空间的弯曲状况，T_uv为能量-动量张量，表示了物质分布和运动状况，g_uv为度规，κ为系数，可由低速的牛顿理论来确定，"_"后字母为下标，"^"后字母为上标。

方程意义：空间物质的能量-动量（T_uv）分布=空间的弯曲状况（R_uv）

(5)张量两次协变微商怎么求扩展阅读

爱因斯坦引力场方程的性质：

1.场方程为非线性的，爱因斯坦场方程的非线性特质使得广义相对论与其他物理学理论迥异。举例来说，电磁学的麦克斯韦方程组跟电场、磁场以及电荷、电流的分布是呈线性关系（亦即两个解的线性叠加仍然是一个解）。

2.透过弱场近似以及慢速近似，可以从爱因斯坦场方程退化为牛顿重力定律。事实上，场方程中的比例常数是经过这两个近似，以跟牛顿重力理论做连结后所得出。

参考资料

网络--爱因斯坦引力场方程

❻ 惯量张量，应变张量，应力张量是不是二阶协变张量

这里的张量实际上指的是向量，可以看做是各个方向的力的共同作用 而力这里说的的是应力，你可以这要理解，应力是被动的，如你受力时的反射性应力， 偏应力张量应该就是针对某一方向而言的应力张量。

❼ 张量的协变导数与算符

1.协变导数
协变矢量 和逆变矢量 关于 的协变导数分别定义为： 和 。上列结果可以推广到高阶张量的协变导数。
2.不变性微分算符
推广矢量分析概念，对于任意张量场T有四种不变性微分算符，即梯度▽T，散度▽·T，旋度▽×T和拉普拉斯算符▽2T。
在直角坐标系下，协变和逆变间的差别消失，故可规定所有指标均写成下标，另外，由于克里斯托费尔符号为零，所以协变导数变成为普通偏导数。

❽ 黎曼几何学的张量的协变微分

截面曲率、里奇曲率以及数量曲率是非常重要的几何量。研究这些量与黎曼流形的几何性质以及拓扑性质之间的关系是黎曼几何的一个重要课题。例如，嘉当－阿达马定理断言：若一个n维单连通完备黎曼流形的截面曲率处处不大于零，那么它与Rn微分同胚。再如迈尔斯定理断言：若完备黎曼流形的里奇曲率处处大于一个正常数h，那么它必是紧流形而且基本群有限。W.克林格贝格和M.伯热证明的球定理断言：如果完备单连通n维黎曼流形M的截面曲率KM 满足，那么M与n维欧氏球面Sn同胚。这些结果显示了流形的拓扑性质与度量性质之间有密切的联系。在这方面还有许多未解决的问题。

❾ 张量分析中，协变向量与逆变向量的三个分量在直角坐标下对应相同，那么其散度在柱坐标下是否相同为什么

相同，散度是零阶张量，任何坐标系下相同，之所以看起来不同，是因为协变和逆变的情况原向量在柱坐标系下的分量就已经不同了。

❿ 请问一下这是爱因斯坦的广义相对论公式吗这是变形式

是的，这个是爱因斯坦场方程的分量形式，是广义相对论的核心方程。
图片中显示的是含宇宙学常数的场方程，方程左端Gμν是爱因斯坦张量分量，等于Rμν-0.5gμνR，其中Rμν是里奇张量分量，是黎曼曲率张量Rabcd上升一或四指标后上标与第一或第二下标缩并的结果，升指标黎曼曲率张量与协变矢量的内积是协变矢量两次协变导数交换顺序后相减；gμν是度规张量分量也是方程的待求量，是所选坐标系基矢的内积；R是里奇标量，是逆变度规张量与里奇张量的内积
方程右端G是万有引力常数，Tμν是能动张量分量，其一般形式为ρUaUb+p（gab+UaUb），其中ρ是密度场，Ua是度规降指标的四速场，p是压强场；ρΛ是宇宙学常数，量纲与压强一致，实际上一个正的宇宙学常数相当于引入负压强的物质。