方向微商是方向導數嗎

『壹』 導數和微分之間是什麼關系，或聯系

1、一元函數，可導就是可微，沒有本質區別，完全是一個意思的兩種表述： 可導強調的是曲線的斜率、變數的牽連變化率； 可微強調的是可以分割性、連續性、光滑性。 dx、dy: 可微性； dy/dx: 可導性 dy = (dy/dx)dx， 在工程應用中,變成： Δy = (dy/dx)Δx 這就是可導、可微之間的關系： 可導 = 可微 = Differentiable。 導數 = 微分 = Differentiation，Derivative 不可導 = 不可微 = Undifferentiable 【說穿了，可以說是中文在玩游戲，也可以說中文概念更精確性】 2、二元和二元以上的多元函數有偏導(Partial Differentiation)的概念， 有全導數、全微分(Total Differentiatin)的概念。 【說穿了，可以說也是中文在玩游戲，也可以說中文概念更有思辯性】 多元函數有方向導數(Directional Differentiation/Derivative)的概念 一元函數，無所謂偏導、全導，也沒有全微分、偏微分、方向導數的概念。3、對於多元函數，沿任何坐標軸方向的導數都是偏導數， a、沿任何特定方向的導數都是方向導數。 b、方向導數取得最大值的方向導數就是梯度(Gradient)。 c、英文中有全導數的概念(Total Differentian),只是我們的教學不太習慣 這樣稱呼，我們習慣稱為全微分，其實是完全等同的意思。 一元函數沒有這些概念。偏導就是全導，全導就是偏導。4、dx、dy、都是微分，只有在寫成=(∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy時， 才是全微分，而dx、dy就是偏微分，只是我們不習慣這樣講罷了。 而∂f、∂x、∂y還是微分的概念，是df、dx、dy在多元函數中的變形。x的單獨變化會引起u的變化，=(∂f/∂x)dxy的單獨變化會引起u的變化，=(∂f/∂y)dy其中的 ∂f/∂x、∂f/∂y 就是二元函數f分別對x,y的偏導數。∂f/∂x 就是由於x的變化單獨引起的f的變化率，部分原因引起，為「偏」；∂f/∂y 就是由於y的變化單獨引起的f的變化率，部分原因引起，為「偏」。x、y同時變化，引起u的變化是：=(∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy這就是全微分，所有原因共同引起為「全」。總而言之，言而總之：對一元函數，可導與可微沒有本質區別；對多元函數，可微是指所有方向可以偏導，可微的要求更高。

可以么？

『貳』 導數和微分是什麼關系呢

dx表示很小很小的x，要多小有多小。
dy是當自變數增量為dx時，函數值的近似增量。所以dy=tanθdx,tanθ是點x切線斜率，而切線斜率是f'(x),所以f'(x)=dy/dx,所以又叫微商。

u中u是關於自變數的函數，如果把u當作一個整體看成新的自變數，求u,就相當於求xdx

『叄』 "導數 dy / dx"和"微分 dy" 的記號

一維的情況下，導數和微分的意義是一樣的，即導數就是微商，而dx,dy分別是x，y的微分運算元，你可以理解為delta x，delta y，只不過這個距離取的極小極小而已。而導數就是delta x/delta y的極限。

delta x就是x2-x1啊。
2元的由於有x，y兩個方向，情況復雜，可微與可導不是一個概念，具體情況我也記不清了。而一元情形，可微可導意義相同，你可以理解為等式兩邊同時乘以一個delta y然後對x取極限

『肆』 微分學的導數

微分學的核心概念，主要始原於研究如何確定非勻速直線運動質點的瞬時速度與平面曲線上一點處的切線方向。
原是一個純粹的物理概念。它是在人們經過多次反復觀察比較種種非勻速直線運動，尤其在研究物體的碰撞運動而獲得大量經驗之後產生的。精確科學要求，不僅要准確、清晰而定性地表達這個概念（當然必須與經驗的瞬時速度概念相一致），而且要能同時給出確定速度數值的方法。這就促使人們在數學上要建 立一種對函數施加的獨特的運算。

設一個非勻速直線運動的質點所行的路程 s與時間t的依賴關系是 s=f(t)。 如果要定義質點在某一給定時刻t的速度(瞬時速度),並計算出這速度的數值，考慮時刻t的一個鄰近值t1，在t到t1這段時間Δt=t1-t中，質點運動的路程是 △s=f(t1)-f(t)，從而這段路程上的平均速度是：（圖1）

在一般常見的情形，當Δt很小,相應的尌就很接近於時刻t的瞬時速度，而且一般說來，Δt愈小，尌就愈接近於該時刻的瞬時速度。這說明,時刻t的瞬時速度可以表現為路程變化量與時間變化量之比當Δt趨於零（而始終不等於零）時的極限：（圖2）只要這個極限存在，就利用它來定義瞬時速度並計算其數值。 若質點作曲線運動，則在每一瞬時，運動的特徵首先表現在方向上。對質點運動瞬時方向的數量分析也將導致對函數施加與計算瞬時速度類似的運算。

設一個質點在一平面上運動，其軌跡在取定一個笛卡兒坐標系後可以表示成曲線y=ƒ(x)。如果要考慮怎樣確定質點運動到曲線上一任意給定點p（x,y）時的瞬時方向（圖1），為此在曲線上取p的一鄰近點Q(x1,y1)。很容易看到割線pQ的方向近似於質點在p處的瞬時方向,而且一般說來，x1愈接近x，近似程度就愈好。如果當Q沿曲線趨近p,割線pQ趨近某個極限位置pT，則占據這個極限位置的直線就稱為曲線在點p
處的切線，這切線的方向就是運動質點在點p處的瞬時方向。切線pT與橫軸的夾角θ,就應當是割線pQ與橫軸夾角φ的極限。因此切線pT的斜率k=tanθ可以如下計算：（圖3） 若令Δx=x1-x，則有（圖4）只要這個極限存在,就決定了曲線y=ƒ(x)在點p(x,y)處的切線的方向。 導數也稱微商。上述兩個問題盡管有著不同的物理方面或幾何方面的背景，但表現在數量關繫上並沒有區別,解決問題所涉及的運算也是相同的:從自變數x的變化量Δx出發，求出相應的因變數y的變化量Δy以後，取商Δy/Δx，再令Δx趨於零(而始終不等於零)取極限（圖5）。這個極限運算稱為函數的微分運算，運算的結果稱為函數的導數。

准確地說，函數y=ƒ(x)在給定一點x處的導數定義為 （圖6）這里說的是這個極限存在的情況，這時又稱函數ƒ(x)在點x處是可微的。如果這個極限不存在,就認為ƒ(x)在x處沒有導數,並稱ƒ(x)在點x處不可微。例如ƒ(x)=|x|在x=0處就是不可微的。容易看出,如果因變數的變化量Δy=ƒ(x+Δx)-ƒ(x)不隨Δx趨於零,則上述極限不會存
在，所以函數在其不連續點處一定是不可微的。值得注意的是,函數在其連續點處也有可能是不可微的,如前面所給出的例ƒ(x)=|x|就在x=0處連續而不可微。K.（T.W.）外爾斯特拉斯曾給出一個例子(1872)，其中的函數處處連續但處處不可微。所以，函數的可微性要求比連續性強得多。外爾斯特拉斯給出的函數是（圖7）式中0<α<1；b)為滿足條件（圖8）的一個奇整數。可以在給定的點x處考慮單側導數,即左導數與右導數：（圖9）
函數ƒ(x)在它的每一個可微點x處都對應著一個唯一確定的數值──導數值ƒ┡(x),這個對應關系給出了一個

定義在ƒ(x)全體可微點的集合上的新的函數，稱為函數ƒ(x)的導函數，記為ƒ┡(x)。

『伍』 高等數學【微積分*P215，方向wei商的意義·~仙俠精靈進！】благодарю

方向微商就是方向導數，方向導數本質上也還是導數，導數代表變化率，所以方向微商就是函數在給定方向上的導數，也就是該方向的變化率。例如：
一元函數的導數就是函數值在x方向的變化率，多元函數的偏導數就是函數值在各自坐標軸方向的變化率。x方向偏導數fx，也可以認為是(1,0,0)方向的方向導數，你可以代入梯度×單位向量的公式驗證。
這樣，方向微商的幾何意義應該清楚了吧。

『陸』 導數和斜率是一樣的嗎

不一樣。

導數又叫導函數，是一個函數，是原來的函數的導函數。導數的幾何意義就是斜率，求函數在x0處的切線斜率，就是先求出該函數的導數，然後將x0的值代入導數，得到的就是該點的切線斜率。導數是基於斜率運算的一個極限結果，可以描述圖形的連續性，具有圖形上單點的描述特徵。

也就是說，導函數每一點的函數值都是對應於原函數的對應點的切線斜率。而斜率的意義是比較廣泛的, 比如拋物線上任意兩點連線可以求出一個斜率，但導數不可以這樣做。

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導數與微分的區別與聯系

1、起源不同：導數起源是函數值隨自變數增量的變化率，即△y/△x的極限。微分起源於微量分析，如△y可分解成A△x與o(Ox)兩部分之和，其線性主部稱微分。當△x很小時，△y的數值大小主要由微分A△x決定，而o(Ox)對其大小的影響是很小的。

2、幾何意義不同：導數的值是該點處切線的斜率，微分的值是沿切線方向上縱坐標的增量，而△y則是沿曲線方向上縱坐標的增量。

3、聯系：導數是微分之商(微商)y』=dy/dx,微分dy=f'(x)dx。對一元函數而言，可導必可微，可微必可導。

『柒』 數學題：導數與微分的本質區別

1、一元函數，可導就是可微，沒有本質區別，完全是一個意思的兩種表述：
可導強調的是曲線的斜率、變數的牽連變化率；
可微強調的是可以分割性、連續性、光滑性。

dx、dy: 可微性； dy/dx: 可導性

dy = (dy/dx)dx， 在工程應用中,變成： Δy = (dy/dx)Δx

這就是可導、可微之間的關系：
可導 = 可微 = Differentiable。
導數 = 微分 = Differentiation，Derivative
不可導 = 不可微 = Undifferentiable

【說穿了，可以說是中文在玩游戲，也可以說中文概念更精確性】

2、二元和二元以上的多元函數有偏導(Partial Differentiation)的概念，
有全導數、全微分(Total Differentiatin)的概念。
【說穿了，可以說也是中文在玩游戲，也可以說中文概念更有思辯性】
多元函數有方向導數(Directional Differentiation/Derivative)的概念

一元函數，無所謂偏導、全導，也沒有全微分、偏微分、方向導數的概念。

3、對於多元函數，沿任何坐標軸方向的導數都是偏導數，
a、沿任何特定方向的導數都是方向導數。
b、方向導數取得最大值的方向導數就是梯度(Gradient)。
c、英文中有全導數的概念(Total Differentian),只是我們的教學不太習慣
這樣稱呼，我們習慣稱為全微分，其實是完全等同的意思。

一元函數沒有這些概念。偏導就是全導，全導就是偏導。

4、dx、dy、都是微分，只有在寫成=(∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy時，
才是全微分，而dx、dy就是偏微分，只是我們不習慣這樣講罷了。
而∂f、∂x、∂y還是微分的概念，是df、dx、dy在多元函數中的變形。

x的單獨變化會引起u的變化，=(∂f/∂x)dx
y的單獨變化會引起u的變化，=(∂f/∂y)dy
其中的 ∂f/∂x、∂f/∂y 就是二元函數f分別對x,y的偏導數。
∂f/∂x 就是由於x的變化單獨引起的f的變化率，部分原因引起，為「偏」；
∂f/∂y 就是由於y的變化單獨引起的f的變化率，部分原因引起，為「偏」。

x、y同時變化，引起u的變化是：
=(∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy
這就是全微分，所有原因共同引起為「全」。

總而言之，言而總之：
對一元函數，可導與可微沒有本質區別；
對多元函數，可微是指所有方向可以偏導，可微的要求更高。

『捌』 導數和微分深層次本質關系是什麼

對於一元函數下的微分，由△y=A△x+0(x),記得dy=A△x,A即為其相對應的導。對於函數f(x),在某點處可導是其可微的充要條件。也可以說導數是相應函數微分dy與自變數微分dx的商。所以導數又稱微商。而對於兩者的幾何意義而言，導數是函數在過相應點切線的斜率，而相應微分就是這條切線縱坐標的改變數。
導數強調的是一種變化率，而微分是對於變化量的解讀。

而對於多元函數之下的偏導數和全微分，又有些微的區別。
以二元函數為例，f（x+△x,y）-f(x,y)≈fx(x,y)△x【對x的偏微分】（當然另外還有對y的偏微分）。x,y均改變的情況下產生的函數改變數成為全增量，這種情況下產生了全微分。
對於二元函數z=f(x,y)在點（x,y）處可微分（全微分），那麼在此點就有偏導數，且在此點沿任意方向的方向導數（偏導數也可以說是方向導數中的特例）均存在。而偏導數在此點處連續才能得到可微分。
進一步，也即是說偏導數是全微分的必要不充分條件。
此種情況下看，可微分的條件更為嚴苛。

其實我們也可以將一元函數中的導數和微分看做是一種特殊的全導和全微，因為它研究的基礎是平面的，變化也是單一的。

『玖』 微分和微商（導數）的本質區別

(1)起源（定義）不同：導數起源是函數值隨自變數增量的變化率，即△y/△x的極限。微分起源於微量分析，如△y可分解成A△x與o(△x)兩部分之和，其線性主部稱微分。當△x很小時，△y的數值大小主要由微分A△x決定，而o(△x)對其大小的影響是很小的。
(2)幾何意義不同：導數的值是該點處切線的斜率，微分的值是沿切線方向上縱坐標的增量，而△y則是沿曲線方向上縱坐標的增量。可參考任何一本教材的圖形理解。
(3)聯系：導數是微分之商（微商）y'
=dy/dx,
微分dy=f'(x)dx，這里公式本身也體現了它們的區別。
(4)關系：對一元函數而言，可導必可微，可微必可導。