協變微商公式

A. 廣義相對論的主要內容是什麼，公式是什麼最好有原文

廣義相對論是對牛頓萬有引力定律的修正與推廣，是用張量語言寫成的引力論。它將引力描述成背景時空而不是一種力，一個物體若只受引力作用則在廣義相對論看來是自由質點不受力。引力的作用是使直線變得彎曲，數學上體現在度規張量分量非常數，等價於黎曼曲率張量非零，協變導數和普通偏導數不同，克氏符非0等。

其公式主要是引力場方程，其數學形式為Rab-0.5gabR=8πTab。式中Rab叫做里奇張量，為上升第四指標的黎曼曲率張量上標和第一或第二下標縮並後的結果。協變矢量兩次協變導數交換順序相減後的結果是黎曼曲率張量和協變矢量的內積。gab叫做度規張量是該方程的待求量，其在某個坐標系的分量是該坐標系基矢量的內積。R叫做曲率標量，是度規張量的逆變分量和里奇張量分量的內積。Tab是能動張量。

其他的一些相關數學公式如圖

B. 什麼是協變數代數

追尋引力的量子理論

一. 量子時代的流浪兒

二十世紀理論物理學家說得最多的話之一也許就是： 「廣義相對論和量子理論是現代物理學的兩大支柱」。兩大支柱對於建一間屋子來說可能還太少，但對於物理學卻已嫌多，二十世紀物理學家的一個很大的夢想就是把這兩大支柱合而為一。

如今二十世紀已經走完，回過頭來重新看看這兩大支柱，在量子理論這根支柱上已經建起了十分宏偉的殿堂，物理學的絕大多數分支都在這座殿堂中搭起了自己的舞台。物理學中已知的四種基本相互作用有三種在這座殿堂內得到了一定程度的描述。可以說，物理學的萬里河山量子理論已經十有其九。今天的物理學正處在一個不折不扣的量子時代。而這個輝煌的量子時代最大的缺憾就在於物理學的另一根支柱 - 廣義相對論 - 還孤零零地游離在量子理論的殿堂之外。

廣義相對論成了量子時代的流浪兒。

二. 引力為什麼要量子化？

廣義相對論和量子理論在各自的領域內都經受了無數的實驗檢驗，迄今為止，還沒有任何確切的實驗觀測與這兩者之一矛盾。有段時候，人們甚至認為生在這么一個理論超前於實驗的時代對於理論物理學家來說是一種不幸。 Einstein 曾經很懷念 Newton 時代，因為那是物理學的幸福童年時代，充滿了生機； Einstein 之後也有一些理論物理學家很懷念 Einstein 時代，因為那是物理學的偉大變革時代，充滿了挑戰。

今天的理論物理學依然充滿了挑戰，但是與 Newton 和 Einstein 時代理論與實驗的 「親密接觸」 相比，今天理論物理的挑戰和發展更多地是來自於理論自身的要求，來自於物理學追求統一，追求完美的不懈努力。

量子引力理論就是一個很好的例子。

雖然量子引力理論的主要進展大都是在最近這十幾年取得的，但是引力量子化的想法早在 1930 年就已經由 L. Rosenfeld 提出了。從某種意義上講，在今天大多數的研究中量子理論與其說是一種具體的理論，不如說是一種理論框架，一種對具體的理論 - 比如描述某種相互作用的場論 - 進行量子化的理論框架。廣義相對論作為一種描述引力相互作用的場論，在量子理論發展早期是除電磁場理論外唯一的基本相互作用場論。把它納入量子理論的框架因此就成為繼量子電動力學後一種很自然的想法。

但是引力量子化的道路卻遠比電磁場量子化來得艱辛。在經歷了幾代物理學家的努力卻未獲得實質性的進展後人們有理由重新審視追尋量子引力的理由。

廣義相對論是一個很特殊的相互作用理論， 它把引力歸結為時空本身的幾何性質。 從某種意義上講， 廣義相對論所描述的是一種 「沒有引力的引力」。 既然 「沒有引力」， 是否還有必要進行量子化呢？描述這個世界的物理理論是否有可能只是一個以廣義相對論時空為背景的量子理論呢？[注一] 也就是說，廣義相對論和量子理論是否有可能真的同時作為物理學的基礎理論呢？

這些問題之所以被提出， 除了量子引力理論本身遭遇的困難外， 沒有任何量子引力存在的實驗證據也是一個重要原因。 但是種種跡象表明，即使撇開由兩個獨立理論所帶來的美學上的缺陷， 把廣義相對論和量子理論的簡單合並作為自然圖景的完整描述仍然存在許多難以克服的困難。

問題首先在於廣義相對論和量子理論彼此間並不相容。 我們知道一個量子系統的波函數由系統的 Schrödinger 方程

HΨ = i∂tΨ

所決定。 方程式左邊的 H 稱為系統的 Hamiltonian (哈密頓量)， 它是一個算符，包含了對系統有影響的各種外場的作用。這個方程對於波函數 Ψ 是線性的， 也就是說如果 Ψ1 和 Ψ2 是方程的解， 那麼它們的任何線性組合也同樣是方程的解。 這被稱為態迭加原理，在量子理論的現代表述中作為公理出現， 是量子理論最基本的原理之一。 但是一旦引進體系內 (即不僅僅是外場) 的非量子化引力相互作用，情況就不同了。 因為由波函數所描述的系統本身就是引力相互作用的源， 而引力相互作用又會反過來影響波函數， 這就在系統的演化中引進了非線性耦合，從而破壞了量子理論的態迭加原理。 不僅如此， 進一步的分析還表明量子理論和廣義相對論耦合體系的解有可能是不穩定的。

其次，廣義相對論和量子理論在各自 「適用」 的領域中也都面臨一些尖銳的問題。比如廣義相對論所描述的時空在很多情況下 - 比如在黑洞的中心或宇宙的初始 - 存在所謂的 「奇點」 (Singularity)。在這些奇點上時空曲率和物質密度都趨於無窮。這些無窮大的出現是理論被推廣到其適用范圍之外的強烈徵兆。無獨有偶，量子理論同樣被無窮大所困擾，雖然由於所謂重整化方法的使用而暫得偏安一隅。但從理論結構的角度看，這些無窮大的出現預示著今天的量子理論很可能只是某種更基礎的理論在低能區的 「有效理論」 (Effective Theory)。因此廣義相對論和量子理論不可能是物理理論的終結，尋求一個包含廣義相對論和量子理論基本特點的更普遍的理論是一種合乎邏輯和經驗的努力。

三. 黑洞熵的啟示

迄今為止對量子引力理論最具體最直接的 「理論證據」 來自於對黑洞熱力學的研究。一九七二年，Princeton 大學的研究生 J. D. Bekenstein 受黑洞動力學與經典熱力學之間的相似性啟發，提出了黑洞熵的概念，並估算出黑洞的熵正比於其視界 (Event Horizon) 面積。稍後，S. W. Hawking 研究了黑洞視界附近的量子過程，結果發現了著名的 Hawking 幅射，即黑洞會向外幅射粒子 (也稱為黑洞蒸發)，從而表明黑洞是有溫度的。由此出發 Hawking 也推導出了 Bekenstein 的黑洞熵公式，並確定了比例系數，這就是所謂的 Bekenstein-Hawking 公式：

S = k (A/Lp2) / 4

式中 k 為 Boltzmann 常數，它是熵的微觀單位， A 為黑洞視界面積， Lp 為 Planck 長度，它是由廣義相對論和量子理論的基本常數組合成的一個自然長度單位 (大約為 10-35 米)。

Hawking 對黑洞幅射的研究使用的正是以廣義相對論時空為背景的量子理論，即所謂的半經典理論，但黑洞熵的存在卻預示著對這一理論框架的突破。我們知道，從統計物理學的角度講，熵是體系微觀狀態數目的體現，因而黑洞熵的存在表明黑洞並不象此前人們認為的那樣簡單，它含有數量十分驚人的微觀狀態。這在廣義相對論的框架內是完全無法理解的，因為廣義相對論有一個著名的 「黑洞無毛發定理」 (No-Hair Theorem)，它表明黑洞的內部性質由其質量，電荷和角動量三個宏觀參數所完全表示 (即使考慮到由 Yang-Mills 場等帶來的額外參數，其數量也十分有限)，根本就不存在所謂微觀狀態。這表明黑洞熵的微觀起源必須從別的理論中去尋找，這 「別的理論」 必須兼有廣義相對論和量子理論的特點 (因為黑洞熵的推導用到了量子理論)。量子引力理論顯然正是這樣的理論。

在遠離實驗檢驗的情況下，黑洞熵目前已經成為量子引力理論研究中的一個很重要的理論判據。一個量子引力理論要想被物理學界所接受，必須跨越的重要 「位壘」 就是推導出與 Bekenstein-Hawking 熵公式相一致的微觀狀態數。

四. 引力量子化的早期嘗試

引力量子化幾乎是量子化方法的練兵場，早期的嘗試幾乎用遍了所有已知的場量子化方法。最主要的方案有兩大類：協變數子化和正則量子化。它們共同發源於一九六七年 B. DeWitt 題為 "Quantum Theory of Gravity" 的系列論文。

協變數子化方法試圖保持廣義相對論的協變性，基本的做法是把度規張量 gμν 分解為背景部分 gμν 和漲落部份 hμν:

gμν = gμν + hμν

不同的文獻對背景部份的選擇不盡相同，有的取 Minkowski 背景度規 ημν，有的取量子有效作用量 (quantum effective action) 的解。這種方法和廣義相對論領域中傳統的弱場展開方法一脈相承，思路是把引力相互作用理解為在一個背景時空中引力子的相互作用。在低級近似下協變數子引力很自然地包含自旋為 2 的無質量粒子：引力子。

由於這種分解展開使用的主要是微擾方法，隨著七十年代一些涉及理論重整化性質的重要定理被相繼證明，人們對這一方向開始有了較系統的了解。只可惜這些結果基本上都是負面的。一九七四年，G. 't Hooft 和 M. Veltman 首先證明了在沒有物質場的情況下量子引力在單圈圖 (1-loop) 層次上是可重整的，但只要加上一個標量物質場理論立刻變得不可重整。十二年後 M. H. Goroff 和 A. Sagnotti 證明了量子引力在兩圈圖 (2-loop) 層次上是不可重整的。這一結果基本上結束了早期協變數子引力的生命。又過了十二年，Z. Bern 等人往這一已經冷落的方向又潑了一桶涼水，他們證明 - 除了 N = 8 的極端情形尚待確定外 - 量子超引力也是不可重整的，從而連超對稱這根最後的救命稻草也被鏟除了。[注二]

與協變數子化方法不同，正則量子化方法一開始就引進了時間軸，把四維時空流形分割為三維空間和一維時間 (所謂的 ADM 分解)，從而破壞了明顯的廣義協變性。[注三] 時間軸一旦選定，就可以定義系統的 Hamilton 量，並運用有約束場論中普遍使用的 Dirac 正則量子化方法。正則量子引力的一個很重要的結果是所謂的 Wheeler-DeWitt 方程，它是對量子引力波函數的約束條件。由於量子引力波函數描述的是三維空間度規場的分布，也就是空間幾何的分布，它有時被稱為宇宙波函數， Wheeler-DeWitt 方程也因而被一些物理學家視為量子宇宙學的基本方程。

與協變數子化方法一樣，早期的正則量子化方法也遇到了大量的困難，這些困難既有數學上的，比如 Wheeler-DeWitt 方程別說求解，連給出一個數學上比較嚴格的定義都困難；也有物理上的，比如無法找到合適的可觀測量和物理態。[注四]

引力量子化的這些早期嘗試所遭遇的困難，特別是不同的量子化方法給出的結果大相徑庭這一現象是具有一定啟示性的。這些問題的存在反映了一個很基本的事實，那就是許多不同的量子理論可以具有同樣的經典極限，因此對一個經典理論量子化的結果是不唯一的，原則上就不存在所謂唯一 「正確」 的量子化方法。其實不僅量子理論，經典理論本身也一樣，比如經典 Newton 引力就有許多推廣，以 Newton 引力為共同的弱場極限，廣義相對論只是其中之一。在一個本質上是量子化的物理世界中，理想的做法應該是從量子理論出發，在量子效應可以忽略的情形下對理論作 「經典化」，而不是相反。從這個意義上講，量子引力所遇到的困難其中一部份正是來源於我們不得不從經典理論出發，對其進行 「量子化」 這樣一個無奈的事實。

五. Loop Quantum Gravity

傳統的量子引力方案的共同特點是繼承了經典廣義相對論本身的表述方式，以度規場作為基本場量。一九八六年以來，A. Ashtekar 等物理學家借鑒了幾年前 A. Sen 的研究工作，在正則量子化方案中引進了一種全新的表述方式，以自對偶自旋聯絡 (self-al spin connection) 作為基本場量 (這組場量通常被稱為 Ashtekar 變數)，由此為正則量子引力的研究開創了一番新的天地。同年 T. Jacobson 和 L. Smolin 發現 Ashtekar 變數的 Wilson loop 滿足 Wheeler-DeWitt 方程。在此基礎上 C. Rovelli 和 Smolin 提出把這種 Wilson loop 作為量子引力的基本態，從而形成了現代量子引力理論的一個重要方案: Loop Quantum Gravity。

Loop Quantum Gravity 完全避免使用度規場，從而也不再引進所謂的背景度規，因此被稱為是一種背景無關 (background independent) 的量子引力理論。一些物理學家認為 Loop Quantum Gravity 的這種背景無關性是符合量子引力的物理本質的，因為廣義相對論的一個最基本的結論就是時空度規本身由動力學規律所決定，因而量子引力理論是關於時空度規本身的量子理論。在這樣的理論中經典的背景度規不應該有獨立的存在，而只能作為量子場的期待值出現。

Loop Quantum Gravity 所採用的新的基本場量絕非只是一種巧妙的變數代換手段。因為從幾何上講，Yang-Mills 場的規范勢本身就是纖維叢上的聯絡場，因此以聯絡作為引力理論的基本變數體現了將引力場視為規范場的物理思想。不僅如此，自旋聯絡對於研究引力與物質場 (尤其是旋量場) 的耦合幾乎是必不可少的框架，因此以聯絡作為引力理論的基本變數也為進一步研究這種耦合提供了舞台。 Rovelli 和 Smolin 等人發現在 Loop Quantum Gravity 中由廣義協變性 - 也稱為微分同胚不變性 (diffeomophism invariance) - 所導致的約束條件與數學上的 「節理論」 (knot theory) 有著密切的關聯，從而使得約束條件的求解得到強有力的數學工具的支持。 Loop Quantum Gravity 與節理論之間的這種聯系看似神秘，其實在概念上並不難理解，微分同胚不變性的存在使得 Wilson loop 中具有實質意義的信息具有拓撲不變性，而節理論正是研究 loop 拓撲不變性的數學理論。

經過十幾年的發展，目前 Loop Quantum Gravity 已經具有了一個數學上相當嚴格的框架。除背景無關性之外，Loop Quantum Gravity 與其它量子引力理論相比還具有一個很重要的優勢，那就是它的理論框架是非微擾的。迄今為止在 Loop Quantum Gravity 領域中取得的重要物理結果有兩個：一個是在 Planck 尺度上的空間量子化，另一個是對黑洞熵的計算。

空間量子化曾經是許多物理學家的猜測，這不僅是因為量子化這一概念本身的廣泛應用開啟了人們的想像，而且也是因為一個連續的背景時空看來是量子場論中紫外發散的根源。一九七一年 R. Penrose 首先提出了一個具體的離散空間模型，其代數形式與自旋所滿足的代數關系相似，被稱為 spin network。一九九四年 Rovelli 和 Smolin 研究了 Loop Quantum Gravity 中的面積與體積算符的本徵值，[注五] 結果發現這些本徵值都是離散的，它們對應的本徵態和 Penrose 的 spin network 存在密切的對應關系。以面積算符為例，其本徵值為：

A = Lp2 ∑l [Jl (Jl + 1)]1/2

式中 Lp 為 Planck 長度，Jl 取半整數，是 spin network 上編號為 l 的邊所攜帶的量子數，求和 ∑l 對所有穿過該面積的邊進行。這是迄今為止有關 Planck 尺度物理學最具體的理論結果，如果被證實的話，或許也將成為物理學上最優美而意義深遠的結果之一。 Loop Quantum Gravity 因此也被稱為量子幾何 (Quantum Geometry)。對 Loop Quantum Gravity 與物質場 (比如 Yang-Mills 場) 耦合體系的研究顯示，具有空間量子化特徵的 Loop Quantum Gravity 確實極有可能消除普通場論的紫外發散。

至於黑洞熵的計算，Loop Quantum Gravity 的基本思路是認為黑洞熵所對應的微觀態由能夠給出同一黑洞視界面積的各種不同的 spin network 位形組成的。[注六] 按照這一思路進行的計算最早由 K. Krasnov 和 Rovelli 分別完成，結果除去一個被稱為 Immirzi 參數的常數因子外與 Bekenstein-Hawking 公式完全一致。[注七] 因此 Loop Quantum Gravity 與 Bekenstein-Hawking 公式是相容的。至於它為什麼無法給出完全的常數因子以及這一不確定性究竟意味著什麼，目前仍在討論之中。

六. 超弦理論

量子引力的另一種極為流行的方案是超弦理論 (Superstring Theory)。與 Loop Quantum Gravity 相比，超弦理論是一個更雄心勃勃的理論，它的目標是統一自然界所有的相互作用，量子引力只不過是超弦理論的一個部份。超弦理論被許多人稱為終極理論 (Theory of Everything - TOE)，這一稱謂很恰當地反映了熱衷於超弦理論的物理學家對它的厚望。

超弦理論的前身是二十世紀六十年代末七十年代初的一種強相互作用唯象理論。與今天超弦理論所具有的宏偉的理論目標及精深而優美的數學框架相比，它在物理學上的這種登場可算是相當低調。弦理論作為強相互作用的唯象理論很快便由於量子色動力學 (QCD) 的興起而沒落了。但是一九七四年 J.Scherk 和 J. H. Schwarz 發現弦理論的激發態中存在自旋為 2 的無質量粒子。由於早在二十世紀三十年代 M. Fierz 和 W. Pauli 就發現自旋為 2 的無質量粒子是量子化的線性廣義相對論的基本激發態， J.Scherk 和 J. H. Schwarz 的這一結果立即改變了人們對弦理論的思考角度，弦理論從此漸漸走上了試圖統一自然界所有相互作用的漫漫征途。十年之後，還是 J. H. Schwarz - 和 M. B. Green 等人一起 - 研究了超弦理論的反常消除 (anomaly cancellation) 問題，由此發現自洽的超弦理論只存在於十維時空中，而且只有五種形式，即：Type I, Type IIA, Type IIB, SO(32) Heterotic 及 E8 × E8 Heterotic。這就是著名的 「第一次超弦革命」 (First Superstring Revolution)。又過了十年，隨著各種對偶性及非微擾結果的發現，在微擾論的泥沼中踽踽而行的超弦理論迎來了 「第二次超弦革命」 (Second Superstring Revolution)，其迅猛發展的勢頭持續至今。

從量子引力的角度來看，Loop Quantum Gravity 是正則量子化方案的發展，而超弦理論則通常被視為是協變數子化方案的發展。這是由於當年受困於不可重整性，人們曾經對協變數子化方法做過許多推廣，比如引進超對稱性，引進高階微商項等，這些推廣後來都殊途同歸地出現在超弦理論的微擾表述中。因此雖然超弦理論本身的起源與量子引力無關，但它的形式體系在量子引力領域中通常被視為是協變數子化方案的發展。

超弦理論的發展及內容不是本文的主題，而且有許多不錯的專著和講義可供參考，就不贅述了。在這些年超弦理論取得的理論進展中，這里只介紹與量子引力最直接相關的一個，那就是利用 D-brane 對黑洞熵的計算，這是由 A. Strominger 和 G. Vafa 等人在一九九六年完成的，與 Loop Quantum Gravity 對黑洞熵的計算恰好在同一年。超弦理論對黑洞熵的計算利用了所謂的 「強弱對偶性」 (strong-weak ality)，即在具有一定超對稱的情形下，超弦理論中的某些 D-brane 狀態數在耦合常數的強弱對偶變換下保持不變。利用這種對稱性，處於強耦合下原本難於計算的黑洞熵可以在弱耦合極限下進行計算。在弱耦合極限下與原先黑洞的宏觀性質相一致的對應狀態被證明是由許多 D-brane 構成，對這些 D-brane 狀態進行統計所得到的熵和 Bekenstein-Hawking 公式完全一致 - 甚至連 Loop Quantum Gravity 無法得到的常數因子也完全一致。這是超弦理論最具體的理論驗證之一。美中不足的是，由於上述計算要求一定的超對稱性，因此只適用於所謂的極端黑洞 (extremal black hole) 或接近極端條件的黑洞。[注八] 對於非極端黑洞，超弦理論雖然可以得到 Bekenstein-Hawking 公式中的正比關系，但與 Loop Quantum Gravity 一樣無法給出其中的比例系數。

七. 結語

以上是七十幾年來量子引力理論的發展以及近些年取得的若干主要進展的一個速寫。除了 Loop Quantum Gravity 和超弦理論這兩個主要的候選理論外還有許多其它理論，限於篇幅本文未做介紹。雖然如我們前面所見，這些理論各自取得了一些重要的進展，但距離構建一個完整量子引力理論的目標仍相當遙遠。 Loop Quantum Gravity 的成果主要局限於理論的運動學方面，在動力學方面的研究卻一直舉步維艱，直到目前人們還不清楚 Loop Quantum Gravity 是否以廣義相對論為弱場極限，或者說 Loop Quantum Gravity 對時空的描述在大尺度上是否能過渡為我們熟悉的廣義相對論時空。按照定義，一個量子理論只有以廣義相對論 (或其它經典引力理論) 為經典極限才能被稱為量子引力理論。從這個意義上講我們不僅不知道 Loop Quantum Gravity 是否是一個 「正確的」 量子引力理論，甚至於連它是不是一個量子引力理論都還不清楚！

超弦理論的情況又如何呢？在弱場下超弦理論包含廣義相對論，因此它起碼可以算是一個量子引力理論的候選者。超弦理論的微擾展開逐級有限，雖然級數本身不收斂，比起傳統的量子理論來還是強了許多，算是大體上解決了傳統量子場論中的發散困難。在廣義相對論方面，超弦理論可以消除部分奇點問題 (但迄今尚無法解決最著名的黑洞和宇宙學奇點問題)。超弦理論在非微擾方面也取得了許多重要的進展。超弦理論具有非常出色的數學框架，以前當學生時曾經聽過 B. Greene 的報告，有一句話印象至深， Greene 說：在超弦領域中，所有看上去正確的東西都是正確的！雖是半開玩笑，但很傳神地說出了超弦理論的美與理論物理學家 (以及數學家) 的直覺高度一致這一特點。對於從事理論研究的人來說，這是一種令人心曠神怡的境界。但是從超弦理論精美的數學框架下降到能夠與實驗接觸的能區就象太空梭重返大氣層，充滿了挑戰。超弦理論之所以被一些物理學家視為終極理論，除了它的理論框架足以包含迄今所有的相互作用外，常常被提到的另一個重要的特點是超弦理論的作用量只有一個自由參數！但是超弦理論引進了兩個非常重要卻迄今未得到實驗支持的概念，那就是十維時空和超對稱。為了與觀測到的物理世界相一致，超弦理論把十維時空分解為四維時空與一個六維緊致空間的直積，這是一個很大的額外假定。超弦理論在四維時空中的具體物理預言與緊致空間的結構有關，因此除非能夠預言緊致空間的具體結構 (僅僅預言其為 Calabi-Yau 流形是遠遠不夠的)，描述這種結構的參數就將成為理論隱含的自由參數。超弦理論中的超對稱也必須以適當的機制破缺。把所有這些因素都考慮進去之後，超弦理論是否仍滿足人們對終極理論的想像和要求，也許只有時間能夠告訴我們。

Loop Quantum Gravity 與超弦理論目前還是兩個獨立的理論，彼此之間唯一明顯的相似之處是兩者都使用了一維的幾何概念作為理論的基礎。如果這兩個理論都反映了物理世界的某些本質特徵，那麼這種相似性也許就不是偶然的。未來的研究是否會揭示出這種巧合背後的聯系現在還是一個謎。
回答者：nmcnh0424

C. 求證廣義相對論中標量場的協變微商就是它的普通微商，且協變微商的結果是一個協變矢量。

很好證的啊，一行就寫完了，你最好自己試試。

D. 愛因斯坦的普遍協變的引力場方程 是什麼

呵呵
引力場引起的空間彎曲
很麻煩的,雙重微積分,還有拉布拉斯運算元(好象是,要麼就是哈密頓運算元,用一個倒三角表示)在裡面,這里寫不出來.
你有興趣,而且有條件的話還是去圖書館找本書看一看吧.應該任何一本大學物理(非文科類)書中都會論及的.就怕看不懂.
所以你就大概定性地去了解吧.也就是知道引力場會使空間發生穹曲就行了.

E. 廣義相對論的數學公式有哪些

主要是愛因斯坦引力場方程，其數學形式為Rab-0.5gabR=8πTab。式中Rab叫做里奇張量，為上升第四指標的黎曼曲率張量上標和第一或第二下標縮並後的結果。協變矢量兩次協變導數交換順序相減後的結果是黎曼曲率張量和協變矢量的內積。gab叫做度規張量是該方程的待求量，其在某個坐標系的分量是該坐標系基矢量的內積。R叫做曲率標量，是度規張量的逆變分量和里奇張量分量的內積。Tab是能動張量。

具體數學表達式如圖

F. 誰知道愛因斯坦廣義相對論的公式。

上面幾個回答都是狹義相對論的最基本公式，而非廣義相對論。
你可以看一下這個網頁：http://202.116.65.193/jinpin2005/wuli/web/websource/13.doc
一下使該文件內容，可能有公式貼不上來。

3.1 等效原理
第一章1.7節曾經提到,牛頓萬有引力可以用引力場來描述.位於的質點感受到的引力決定於處的引力場,
(3.1)
參數稱為引力質量,描寫質點對引力場響應的強弱.當質點只受到引力作用而加速運動時,稱質點作自由落體運動.例如斷了線的升降機,圍繞地球轉動的月亮等.
根據牛頓第二定律,自由落體的加速度為
(3.2)
參數描寫質點被加速的難易程度,稱為慣性質量.實驗指出,在同樣的引力場中,引力使物體產生的加速度與物體的質量無關.這意味著對任意兩個物體和有普適的比例常數
(3.3)
不妨令它等於1,即
(3.4)
在牛頓力學中,引力質量和慣性質量是兩個性質完全不同的參數.他們嚴格相等在牛頓力學中沒有辦法解釋.
設想一些彼此相距遙遠而且和其他物體相距遙遠的質點,因而這些質點不受任何力的作用,故他們相對慣性系沒有加速度.考慮一個相對作勻加速運動的參照系.相對於,上述所有質點具有相等而且平行的加速度.靜止在的觀測者看來,好像參照系沒有加速運動,而質點受到一個均勻引力場作用一樣(因為慣性質量等於引力質量,所有在均勻引力場中自由落體質點的加速度一樣).且不管產生這種引力的原因,從效果上沒有任何理由阻止我們認為存在真實的引力場和是一個和慣性系等價的沒有加速度的參照系.參照系和在物理上完全等價的假設是愛因斯坦提出來的,稱為等效原理.
等效原理使慣性系和非慣性系(相對慣性系加速的參照系)完全平等起來 ,是觀念上的極大進步.在這個假設下,無所謂慣性系和非慣性系,參照系都是一樣的.質點在不同參照系有不同的行為,只是因為不同參照系引力場的強度不同.注意,我們這里說"引力場的強度不同"而不說"引力場不同",是希望避免與"引力場是一種客觀存在,因此與參照系無關"相矛盾.我們仍然可以認為引力場是一種與參照系無關的客觀存在,但它在不同的參照系種表現出不同的強度.在狹義相對論中,我們遇到過類似的例子:一把尺子是客觀存在,但在不同慣性系卻可以表現出不同的長度.我們將稍後再討論引力場和空間幾何的關系,以及為什麼會出現引力場.
顯然不是所有引力場都可以通過簡單的加速參照系變換來抵消.例如沒有一個加速參照系能看到完全為零的地球引力(習題【3.1】).引力和加速度的等效性是局域的.愛因斯坦假設,在質點所在的無窮小空間鄰域中,引力場被質點的自由落體運動完全抵消掉,固定在該質點上的參照系對該質點附近的無窮小鄰域而言是一慣性系,其中引力等於零,狹義相對論成立.
等效原理:
(1)均勻引力場等效於一個加速參照系中的慣性力場;
(2)固定在自由落體上的參照系是一個局域慣性系.
3.2 彎曲空間
◆愛因斯坦轉盤
在慣性系中制備的一些相同的尺子(每把尺的長度為米),分別沿半徑和圓周擺放.
設圓盤相對地面靜止時需要用把尺子擺滿半徑,把尺子擺滿圓周.按照歐幾里德幾何,周長和半徑之比為
(3.5)
當圓盤以角速度轉動時,圓周處的線速度為.因為轉盤是一非慣性參照系,我們現在還不知道非慣性參照系的時空幾何學和其他所有自然定律,只能通過地面慣性系的測量來推斷轉盤上的規律.根據狹義相對論(參見第二章例2-2),在地面慣性系中測得圓周上的尺子長度為
(3.6)
因此轉動圓盤上的人需要多一些尺子才能擺滿圓周,設需要尺子的數目為().對於轉盤上的人,有兩種觀點可選擇:1)仍然採用地面慣性系的長度標准,以不轉動的尺子為長度單位;認為轉盤上同樣的尺子在不同的位置具有不同的長度,而圓盤轉動時圓周的長度和靜止時一樣,即 ;2)不管尺子作慣性運動抑或非慣性運動,堅持同樣的尺子在任何情況下都代表同樣的長度(把它作為轉盤參照系中的長度單位);因而圓盤轉動時圓周的長度和靜止時的不一樣.對於轉盤參照系,按第一種觀點,本質相同的尺子在不同位置具有不同的長度,轉盤上的人做長度測量時需要考慮另一個固定的參照系.而按第二種觀點,尺子的長度與它所處的位置及運動狀態無關,長度的測量與單個參照系有關.因為第二種觀點避免了一種特殊的有優越性的參照系,所以顯得自然一些.
在地面慣性系中測得沿半徑擺放在轉盤上的尺子長度不變,仍為,因此擺滿半徑所需的尺子數目仍為.如果轉盤上的人採用第二種觀點,即認為標准尺的長度是不變的,就會得量出周長和半徑的比為
(3.7)
依這種觀點,轉盤參照系的幾何不是歐幾里德幾何.
再考慮兩個相同的時鍾,一個放在圓心,一個放在圓周.按照狹義相對論(參見第二章例2-1),當圓盤轉動時,地面慣性系的觀察者將看到圓周的時鍾走得慢一些.離圓心越遠,時鍾越慢.和前面關於尺子和長度測量的討論相似,轉盤上的觀察者可以自然地認為時鍾的時間單位(比如一個時鍾周期)沒有變,仍然代表同樣地時間間隔,但轉盤上的觀察者測量得圓周上的時間較之圓心的變慢了.
■
在轉盤上引入非歐幾何不是必須的,因為轉盤相對一個慣性系轉動,一切時間和尺度都可以用慣性系中的時間和尺度,空間幾何以慣性系的歐幾里德幾何為准,即和上兩章那樣賦予慣性系特殊優越的地位.
但是等效原理告訴我們,圓盤的加速運動等效於引力場.因此引力場同樣可以使空間變成非歐幾里德空間.存在不能通過參照系變換使之處處為零的引力場,它的效應不能通過參照系變換從全空間消除掉,故對這樣的引力場非歐幾里德幾何是必須的.
為了容易想像彎曲空間,我們假設空間是二維的.圖3-2是彎曲空間的一個例子.把曲面鑲嵌在高維歐幾里德空間,用高維空間(三維空間)的笛卡兒坐標描寫曲面是可以的.但高斯提出一種更漂亮的描寫方法,即在曲面上直接建立曲線坐標.高斯的方法只使用曲面的內稟性質描寫曲面的幾何,不需要人為地增加內容,類似於廣義相對論只在一個參照系描寫空間結構(和物理規律),優越性是明顯的.
A
A M

B B

我們所討論的曲面假定是連續可微的,每一點附近的小鄰域可以用一平面(圖3-3b中的M)近似.在數學上這種曲面稱為二維微分流形.圖3-2a的蘋果如果沒有破皮,而且把蒂去掉,其表面就很接近一個2維微分流形.
普遍地,可以把流形想像為一個局部光滑的空間,空間任一點的鄰近區域均近似為歐幾里德空間.這意味著可以在流形的任一小區域中建立局域的笛卡兒坐標,為流形的維數.對小區域中的兩點可以根據歐幾里德幾何引入距離的概念,無窮小距離平方定義為
(3.8)
對笛卡兒坐標作任意連續可微變換
(3.9)
代入(3.8)得維流形的間隔平方可寫成
(3.10)
其中函數由流形的幾何性質和所選坐標架所決定,稱為度規矩陣,或簡稱度規,
(3.11)
有了之後,流形便有確定的形狀和距離的概念,即確定流形的度量性質.具有度規的流形稱為黎曼流形.
◆例3-1 求球面流形的度規.
【解】採用球坐標,設球的半徑為.易見
(例3.1)
所以
,, (例3.2)

■
物理四維時空流形有類似黎曼流形的性質.觀察者在引力場中作自由落體運動,他附近的小鄰域里不存在引力場.因此總能將時空流形的一個小鄰域當作歐幾里德區域,在那裡建立慣性參照系(自由落體參照系),其中狹義相對論成立.根據狹義相對論,兩個無限接近事件的間隔,即(3.10)式定義的,是一個不變數,與局域慣性系的選擇無關.按照度規的定義,在任意連續可微坐標變換下亦也不變(習題【3.2】).任意物理的參照系變換都可以用連續可微坐標變換給出,所以在任意局域參照系變換中不變.這些變換可以是非線性的,非均勻的.局域歐幾里德並不意味有限范圍空間的幾何也是歐幾里德的,不同的幾何由不同的度規張量場表現出來(所謂張量場就是給每點都指定一個度規張量).度規場反映了參照系的不同選擇,也反映了空間的幾何結構.最簡單的度規矩陣為單位矩陣,
(3.12)
當度規矩陣為單位矩陣時,參照系為局域慣性系,在其適用的局域范圍內引力場強度為零.經非線性坐標變換後,單位度規矩陣變成非單位矩陣,它對單位矩陣的偏離代表非零的引力強度.因此是和引力場相聯系的.
曲面的整體拓撲性質也是很有趣的.存在非平庸拓撲的曲面,它不可能通過連續可微坐標變換把整個曲面變成平坦的.球面就是一個非平庸拓撲的曲面.相反,圓柱面是可以通過坐標變換變成平坦的.根據引力和幾何的關系,如果空間是二維的球面,則空間必須存在引力場;如果空間拓撲和圓柱面一樣,則整個空間原則上(數學上)可以沒有引力場.
3.3 彎曲空間的矢量分析
(1)張量的定義
考慮一般坐標變換
(3.13)
無限小位移在一般坐標變換下如下式變換:
(3.14)
重復指標均隱含求和,以後不再特別聲明.
按定義,反變矢量由四個分量組成,它的分量在坐標變換下如(3.14)式一樣變換
(3.15)
曲線的切線(例如圖3-2b曲線AB的切線),選擇適當參數就是四維速度矢量
(3.16)
易見它是一個反變矢量(在坐標變換下不變).
由四個分量組成的對象,其分量在坐標變換下如下式變換:
(3.17)
則稱它為協變矢量.注意我們總是用上標表示反變矢量,下標表示協變矢量.
反變矢量和協變矢量可以合起來構成一個標量
(3.18)
易證,在坐標變換下不變.
所有張量都通過它的分量的變換方式來定義.例如的變換方式為
(3.19)
(2)基本張量——度規張量
度規矩陣是對稱的協變張量.
◆【證明】
(3.20)
在新坐標中,
(3.21)
因為是不變間隔,所以.比較(3.20)和(3.21)得
(3.22)
故是一個協變張量,稱為協變度規張量.
(3.22)可以寫成
(3.23)
最右邊的式子由中間的式子同時改變求和指標的名稱而得到.(3.22)減上式得
上式對任意小量成立,故,即度規張量是對稱的.
■
度規矩陣的逆矩陣由下式定義,
(3.24)
因為的兩個指標都按(3.15)式變換,故稱為反變度規張量.易見它也是對稱的.
有了協變和反變度規張量,我們可以把反變矢量(指標)和協變矢量(指標)一一對應起來,
, (3.25)
, (3.26)
因此,一個矢量既可以用反變矢量表示也可以用協變矢量表示,分別稱為矢量的兩個表象:反變表象和協變表象.例如,我們把(3.25)式中的和看作同一個矢量的兩種表示.
(3)不變體積微元
度規矩陣的行列式記為.可證,
(3.27)
其中是從坐標變到坐標的雅戈比行列式,
(3.28)
右邊指標是矩陣元的行指標,為列指標.
雅戈比行列式也出現在體積微元的變換中,
(3.29)
因此,在坐標變換下不變,稱為不變體積微元.
(3.30)
(4)矢量平行移動與仿射聯絡
如何比較空間不同點的兩個矢量呢
這件事在平直的歐幾里德空間是容易辦到的:把其中一個矢量平行移動到另一個矢量的位置,再按平行四邊形法則求他們的差.因為一個笛卡兒坐標架可以描寫整個平直空間,故所謂矢量的平行移動,可以理解為矢量各個分量保持不變的移動.
但在彎曲空間,不同點的矢量之間不存在內稟的平行概念.為了確定不同點的矢量平行與否,必須規定一種平行移動的法則.圖3-4直觀地說明一種可能的平行移動法則——仿射聯絡.圖3-4(a)中,一個與球面切於北極(a)點的矢量沿大弧abc移動,在移動過程中矢量保持它的長度和與弧線abc相切的特徵.可以合理地認為矢量在這個過程中作平行移動.再看圖3-4(b),北極上同樣的矢量,沿另一條大弧adc移動,在移動過程中保持與球面相切並和弧線adc的切線正交的特徵.可以同樣合理地認為這個過程是對矢量的平行移動.但是我們看到兩個過程在南極c點產生的矢量是不同的.可見沒有辦法在整個球面一致地定義矢量的平行.但是沿一條給定曲線平行移動矢量是可以無歧義地定義的.粗略地說,仿射聯絡是一種平行移動的法則,矢量按此法則沿一條曲線移動時方向不改變.
a a
b d
c c

在無限小的區域,彎曲空間近似平直,因此和歐幾里德空間的情形相似,矢量的無限小平行移動由初始矢量和位移矢量所確定.示意於圖3-5.

考慮處一反變矢量,利用處坐標架的單位方向矢量可把矢量可寫成
(3.31)
矢量被平行移動到處,成為該處的一個反變矢量.
(3.32)
把平行移動引起的矢量分量的變化寫成
(3.33)
則
(3.34)
其中帶有三個指標的函數稱為仿射聯絡(克里斯托菲(Christoffel)符號).矢量必須象矢量一樣變換,這要求具有下面的變換性質,
(3.35)
可見,不是一個張量.至此,除了(3.35)式的限制外,沒有其他限制.易見,如果原來的對兩個下標是對稱的,經過任意變換後這種對稱性仍然保持.對平直的歐幾里德空間,等於零,所以對其下標一定是對稱的.我們假定物理時空每一局域都可以用歐幾里德空間近似,是所謂黎曼流形,故只需考慮的情形(數學上稱為無撓性).物理時空是有距離概念的,可以如(3.11)那樣引入度規張量場.能夠保證矢量的標積在平移時保持不變的唯一地被度規張量所確定,
(3.36)
(5)協變微分
考慮反變矢量場.普通微分不是一個張量,因為在坐標變換下,
(3.37)
第一項如張量一樣變換,但第二項不是.
我們要在同一地點求矢量的差才能得到矢量.為了反映矢量場局域空間變化,用處的矢量減(由從平移到所得的矢量,見(3.34)),
(3.38)
這是一個反變矢量,稱為反變矢量場的協變微分.在最後的等式中我們忽略了二階以上的無限小量.
(3.38)式最後一行的中括弧定義為反變矢量的協變導數,
(3.39)
右邊兩項分別都不是張量,但合起來卻是一個張量.以後"分號"一般都表示協變導數.如果空間是平坦的,可以選取不隨時空點變化的度規張量,使得仿射聯絡等於零(見(3.36)),此時協變導數和普通導數一樣.因為廣義相對論中允許在不同時空點採用不同的參照系,不同的坐標架,所以需要(3.39)式右邊的第二項才能保證(3.39)式具有張量的變換性質.
協變微分可以表示為
(3.40)
如果,則是平移得到的矢量.
類似可以得到協變矢量的協變導數
(3.41)
注意(3.39)和(3.41)式第二項符號的差別.
協變導數和普通導數一樣有萊布尼茲求導公式
(3.42)
類似推理可以得到張量的協變導數,
(3.43)
對張量求協變導數的規律是:第一項是普通導數;然後張量的每一個指標都對應有一項,由和張量相乘得到,上標為負,下標為正.注意上下指標的配合就可以寫出正確的協變導數.標量也服從這個規則,因為標量沒有指標,故只有普通導數項.
(3.44)
一個重要的結果是,度規張量的協變導數等於零(習題【3.3】),
(3.45)
(6)曲率張量
如何知道空間在某一點附近是彎曲的呢
A
A s
s
B
B C C

在平直空間,把矢量沿一閉合迴路平行移動一周,矢量方向和大小都不變.例如圖3-6a中的矢量沿路徑ABCA平行移動一周.在彎曲空間,如圖3-6b,矢量沿迴路(圖中的ABCA)平行移動一周後,和原來出發時的矢量不一樣.這是空間彎與不彎的根本差別.
考慮彎曲空間的一個無限小平行四邊形,一反變矢量沿四邊形邊界平行移動一周.如圖3-7.

可以證明,當矢量平行移動回到時,矢量的改變數為
(3.46)
推廣到任意迴路,上式成為
(3.47)
即沿無限小迴路平移一周後,矢量的改變正比於原矢量以及迴路所圍的面積,其比例系數稱為四階黎曼曲率張量,由仿射聯絡及其導數給出,
(3.48)
空間平坦的充分必要條件是四階黎曼曲率張量等於零.四階黎曼曲率張量滿足一個重要的數學恆等式,稱為畢安基(Bianchi)恆等式,
(3.49)
對的指標和縮並,得到一個二階里茲(Ricci)張量
(3.50)
總曲率(標量)等於里茲張量的縮並(先用度規張量把里茲張量的一個指標提起來)
(3.51)
◆例3-2 在半徑為的球面上,採用球坐標和.度規張量已在例3.1中給出.求仿射聯絡和曲率標量.
【解】仿射聯絡的非零分量有:
, (例3.3)
曲率標量為
(例3.4)
■
3.4 短程線
以上3.2和3.3節基本上是數學內容.現在回到物理問題:在引力作用下質點的運動.
根據愛因斯坦的設想,當空間的幾何知道後,自由質點(除了引力之外,不受其它力作用的質點)的運動便由空間的幾何完全確定了.先介紹可以通過空間內稟性質定義的一種特別曲線——短程線.
給定一個初始位置和一個初始速度,可以按以下規則在彎曲空間中畫出一條唯一的曲線.如(圖3-8),(1)從A點的坐標和速度矢量可以得到下一時刻的位置B;(2)沿速度方向將A點的速度矢量平行移動到B點,得到B點的速度矢量;如此類推便可得到整條曲線(圖3-8).這樣通過空間幾何(由仿射聯絡給定)自然定義的曲線稱為短程線.
A
B
C …

A:,
B:,
C:,
若質點沿短程線運動,則四維速度矢量作平行移動.可以認為短程線上各點的速度是同一個矢量(同一個矢量放在時空不同的位置可以有不同的分量,因為坐標架變了).這種運動相當於平坦空間的慣性運動.作為伽利略慣性定律的自然推廣,廣義相對論假設:自由落體沿短程線運動.
按照這一假說,質點作自由落體運動位移無限小距離之後,速度分量的改變等於速度矢量平行移動同樣距離的分量變化.在(3.33)中取為四維速度,即取,便得到
(3.52)
設質點平移所需原時(固有時)為,上式可寫為
(3.53)
或
(3.54)
此即短程線方程,即僅受引力作用的質點運動方程,它決定自由落體質點的加速度.
可證,如果質點從一點移動到另一點的路徑是短程線,則移動過程所用原時取極值(附錄3-1).因為這個原因,我們稱這樣的路徑為短程線.
B

A

數學上,原時取極值的路徑所滿足的方程(3.54)可以通過變分方法求得
(3.55)
因為光速是最高速度,質點的初始四維速度矢量是類時的,在運動過程中也一定是類時的,因此,即對任意物理運動,原時都是正的.
3.5 愛因斯坦引力場方程
引力就是空間的彎曲.而空間的彎曲由度規場描寫,因此度規場等價於引力場.現在要回答一個關鍵的問題:如何確定引力場(即)呢 依據有三:
1. 廣義協變性原理:物理學方程在所有參照系中形式不變;
2. 引力場方程是定域的——是一組偏微分方程,而且關於的偏微分應該不高於二階;
3. 在弱引力低速運動的情形回復到牛頓引力理論.
回憶牛頓引力理論,放在原點質量為的質點在產生的引力勢(第一章(1.31)式)
(3.56)
此式和點電荷產生的庫侖勢比較,數學形式是一樣的.質量對應於電荷,表示質量能產生引力場.有一定空間分布的質量(質量密度為)產生的引力場可以由(3.56)式的積分得到
(3.57)
可證它滿足泊松方程,
(3.58)
這是牛頓的引力場方程.方程的左邊是關於引力場的二階微分方程,右邊是物質的密度.這個特徵應該反映在廣義相對論的引力方程中.(3.58)不含時間,可以認為是物質靜止參照系中引力場方程的某種近似.在運動的慣性系中,物質密度變成物質流密度(單位時間流過單位橫截面積的質量).在狹義相對論中,質量即能量,故場方程的右邊和物質的能量密度和能流密度有關.而單獨的能量和能流密度不能形成協變的四維張量.對連續分布的物質,與物質的能量密度和能流有關的張量是物質的能量-動量密度張量.所謂"物質的"是指引力場之外的能量和動量,以後我們簡稱它為能量-動量密度張量.是一個對稱的二階協變張量,對應能量密度,()對應方向的能量密度流或方向的動量密度(他們成正比),()對應方向的動量密度沿方向的流.這里用"對應"一詞是因為可能相差比例常數.能量-動量密度張量的具體形式要知道相互作用的理論才能寫出來.能量-動量守恆定律表示為
(3.59)
事實上因為協變導數中除了普通導數外還有仿射聯絡項,物質能量-動量並不嚴格守恆.能量-動量可以在物質和引力場之間交換.
讓出現在場方程的右邊,左邊應該是一個與引力場(度規)有關的二階張量,它的協變微分等於零.這個張量只能含有度規的二階偏導數.愛因斯坦找到這個張量,
(3.60)
可以證明它的協變微分等於零.把它和能量動量密度張量聯系起來,得到著名的愛因斯坦廣義相對論引力場方程
(3.61)
為牛頓引力常數.右邊系數的選擇使得方程在弱引力場和緩變近似下回復到牛頓引力理論(附錄3-2).愛因斯坦最早寫出的方程還多出一項,
(3.62)
最後一項稱為宇宙項,為宇宙常數.宇宙項不違反上述對場方程的一般性要求,也沒有物理上的理由排除它.愛因斯坦當年希望得到一個宇宙的穩態解,所以加上這一項.1922年弗里德曼(A. Friedmann)發現,如果宇宙的曲率半徑是時間的函數,則可以不加入宇宙項.愛因斯坦為此很後悔加上了宇宙項.但最近的實驗表明,宇宙常數很可能不等於零,而且是一個非常大的數,不過它只在非常大的宇宙尺度引起物理效應.
注意,能量-動量密度張量不包含引力的貢獻.在所謂真空(除引力場無其他物質)中,場方程(3.61)成為
(3.63)
這是關於引力場的非線性二階偏微分方程.真空場方程除了平庸的平坦空間解外,還有引力波解.引力波的存在至今還沒有得到實驗直接證實.
關於廣義相對論更詳細的初級讀物有鄭慶璋,崔世治編著的《廣義相對論基本教程》(中山大學出版社1991).
習題
【3.1】簡單說明地球的引力不能被轉動坐標系抵消.
【3.2】按照度規的定義(3.11)式,證明在任意連續可微坐標變換下不變.
【3.3】度規張量的協變導數等於零,即(3.45)式.
【3.4】推導例3-2的結果.

G. 什麼是廣義協變原理

廣義協變原理就是廣義相對性原理是廣義相對論的兩個基本
原理之一，是狹義相對論中的相對論原理的推廣，這也正是
廣義與狹義名字上區別的由來。

狹義相對性原理：

一切物理定律（引力除外）在慣性參考系中保持相同的形式。

廣義相對性原理：

一切物理定律在一切參考系中保持相同的形式。

這里要解釋幾個名詞

參考系：就是以一定方式運動的觀察者，他可以定義時空坐標來描述
事件發生的時間和地點，在我們的3+1維時空，這種描述需要
4個實數。當然這種坐標的定義方式是任意的，每種定義方式
可以叫做一個坐標系。
慣性系：一個參考系，如果其中的物體滿足在合力為零的情況下保持勻
速運動或靜止狀態，那麼這個參考系就叫做慣性參考系。

物理定律：就是一些物理量和另一些物理量之間的相等關系。

為了滿足相對性原理，就要對物理定律的形式做出修改，否則連普通的
力學都不滿足這個原理。最簡單的例子就是在非慣性系中的牛頓力學，
還記得相對加速度，牽連加速度，科氏加速度這些名詞吧，當年我可是
被繞了夠嗆。跟慣性系的牛頓定律比，它們顯然不是一個形式。為什麼
會這樣呢？因為坐標變換後，物理量一般不會保持原來的值，而是要變
化，變化的方式當然跟坐標變換的方式有關了，所以原來相等的關系可
能就會不等了。
按照這樣的思路，如果把物理定律表示成這樣的等式，它的兩邊在
坐標變換下按照相同的規律變化，那麼原來相等的東西變換後也一定相
等，這樣就可以得到符合廣義相對性原理的物理定律的形式。下面的任
務就是研究物理量在坐標變換下如何變化了，只要把按照相同規律變化
的物理量放到一起組成物理定律，問題就解決了。
物理量隨坐標系的變換很復雜，有的量不隨坐標系變化，比如質點
的質量，這種量很容易對付，他們在坐標變換下不變，可以認為已經滿
足了廣義協變原理，所以不必考慮。有的不僅與自身在原坐標系中的值
有關，還和其他的量有關，這樣就必須把這些相互關聯的一組量同時加
以考慮。我們的經驗發現，同時變化的量的個數、都是空間維數的某個
自然數冪，考慮到前面說的不隨坐標變換變化的量，它的個數是1，所以
冪次是0，所以同時變化的量的個數、都是空間維數的某個非負整數冪。
根據這個冪次的不同，可以對物理量進行分類。首先，把這種按一定規
律隨坐標系變化而變化的物理量組稱為張量，如果張量中物理量的個數
是空間維數的n次冪，就把這個張量叫做n階張量。
階數相同的張量具有相同的個數（廢話！）和變換規律，所以最後
的方程應當由階數相同的張量來組成。我們把物理定律在一個參考系下
用張量方程寫出來，就可以知道它在一切其他參考系下也是這樣的形式，
只不過，要用經過變換的張量來代替原來的。現在唯一的問題是，張量
在坐標表換下如何變化？
下面不得不寫點數學公式了。設原坐標系Xi，i是坐標編號，應該是
從0到3，新坐標系是X'i(Xi),寫成函數形式表示他們的變換關系。0階張
量就不說了，它們不變。對於一階張量Ai，變換關系有兩種：
A'i=Aj*dX'i/dXj A'i=Aj*dXi/dX'j
先解釋一下，這兩個式子應用了愛因斯坦求和約定，即相同的下標表示
對此下標從0到3求和，這個式子里的j就是這樣的下標。在此約定下，張
量方程可以寫成很簡單的形式。回到主題上來，這兩種1階張量是不同的
前一種叫做1階逆變張量，後一種叫做1階協變張量。對於更高階的張量，
因為有4^n個，所以要引入n個從0到3的下標將它們適當的編號,使得他們
滿足變換關系類似的，不過要注意，此時有的下標滿足逆變的變換關系，
有的滿足協變的，這種就叫做混合張量，一般寫成(p,q)型張量，表示有
p個逆變下標，q個協變下標。舉例來說，(1,1)型張量的變換關系是：
A'{i1,i2}=A{j1,j2}*dX'i1/dXj1*dXi2/dX'j2
其他型號的張量也可類似的寫出變換關系，說白了就是原張量的某個線
性和。為了書寫上的方便，逆變指標寫在右上角，協變指標寫在右下角
，不過bbs上無法用角標，我就用下面的方式代替了，花括弧表示指標集
，;前面的是逆變指標，後面的是協變指標：A{i1;i2},B{i,j;k,l,m}等
等。
還有幾個問題：
為什麼是線性和？是因為從對稱性的角度變換和逆變換的形式應當
一樣，所以只能是線性變換。
為什麼是齊次的？是因為非齊次項沒有作用，方程兩邊都有，所以
就減掉了。
變換系數為什麼只有這兩種？還是從逆變換的角度考慮變換方程的
形式應當不變，這樣自然可以推出系數。

張量的分類與變化規律就這樣結束了。有了這些，就可以寫出滿足
廣義寫變性要求的物理定律了。

總之一句話，廣義相對性原理要求物理定律用張量方程。這就是廣
義相對性原理的唯一作用。

H. 協變的概念

協變（covariant）
在量子力學中，Schrödinger波動方程，只在笛卡爾坐標系中適用，因為微商不能協變

I. 量子力學隱含了時間和空間的存在嗎

「量子力學隱含地假定時間和空間的存在」。好吧，在你想提到的任何公式中，這可能是對的，但這條線有一個潛在的重大漏洞，人們可以意識到時間、空間、物質和能量是潛在量子態的突發特徵。我們習慣於思考某物的量子理論。例如，在勢阱中點粒子的量子理論中，理論的狀態空間可以用一些能量本徵基來表示，動力學是由哈密頓函數編碼的，根據薛定諤方程，時間演化是幺正的。

一個完全可行的問題是:我能否把上面的邏輯顛倒過來，粗略地說，把時間、空間等特徵純粹地從抽象的狀態空間中顯現出來?這個問題的答案可能是肯定的，更重要的是有一些很好的理由認為這可能是自然在基本層面上的運作方式。

我為什麼要這么做呢這和問題有什麼關系呢?一段時間以來，我們已經知道在量子糾纏和時空接近之間存在著一種驚人的關系。在任何情況下(據我所知)，這一點都沒有AdS/CFT通信更明顯。就像Van Raamsdonk幾年前所爭論的那樣，如果我拿兩個CFT副本並以某種方式纏繞它們，那麼這兩個CFT(你可能會認為，每一個都是空AdS的對偶)實際上是一個連通的雙面(AdS)黑洞的對偶!此外，如果增加cft之間的糾纏量，對偶幾何會更緊密。由此得出的邏輯結論是倫納德·蘇斯金德提出的「ER = EPR」猜想，其中他聲稱EPR糾纏對字面上等同於連接粒子的量子wormole(或ER:愛因斯坦-羅森橋!)

所以基本上，Sean Carroll的想法聽起來有點像AdS/CFT的方式，以及相關的見解，告訴我們時空可能純粹從量子力學的糾纏中出現!

J. 什麼是協變啊

協變（covariant）
一個物理定律以某方程式表示時，若在不同的坐標中，該方程式的形式一律不變，則稱該方程式為協變。協強，沒有這個概念廣義協變原理就是廣義相對性原理是廣義相對論的兩個基本
原理之一，是狹義相對論中的相對論原理的推廣，這也正是
廣義與狹義名字上區別的由來。

狹義相對性原理：

一切物理定律（引力除外）在慣性參考系中保持相同的形式。

廣義相對性原理：

一切物理定律在一切參考系中保持相同的形式。

這里要解釋幾個名詞

參考系：就是以一定方式運動的觀察者，他可以定義時空坐標來描述
事件發生的時間和地點，在我們的3+1維時空，這種描述需要
4個實數。當然這種坐標的定義方式是任意的，每種定義方式
可以叫做一個坐標系。
慣性系：一個參考系，如果其中的物體滿足在合力為零的情況下保持勻
速運動或靜止狀態，那麼這個參考系就叫做慣性參考系。

物理定律：就是一些物理量和另一些物理量之間的相等關系。

為了滿足相對性原理，就要對物理定律的形式做出修改，否則連普通的
力學都不滿足這個原理。最簡單的例子就是在非慣性系中的牛頓力學，
還記得相對加速度，牽連加速度，科氏加速度這些名詞吧，當年我可是
被繞了夠嗆。跟慣性系的牛頓定律比，它們顯然不是一個形式。為什麼
會這樣呢？因為坐標變換後，物理量一般不會保持原來的值，而是要變
化，變化的方式當然跟坐標變換的方式有關了，所以原來相等的關系可
能就會不等了。
按照這樣的思路，如果把物理定律表示成這樣的等式，它的兩邊在
坐標變換下按照相同的規律變化，那麼原來相等的東西變換後也一定相
等，這樣就可以得到符合廣義相對性原理的物理定律的形式。下面的任
務就是研究物理量在坐標變換下如何變化了，只要把按照相同規律變化
的物理量放到一起組成物理定律，問題就解決了。
物理量隨坐標系的變換很復雜，有的量不隨坐標系變化，比如質點
的質量，這種量很容易對付，他們在坐標變換下不變，可以認為已經滿
足了廣義協變原理，所以不必考慮。有的不僅與自身在原坐標系中的值
有關，還和其他的量有關，這樣就必須把這些相互關聯的一組量同時加
以考慮。我們的經驗發現，同時變化的量的個數、都是空間維數的某個
自然數冪，考慮到前面說的不隨坐標變換變化的量，它的個數是1，所以
冪次是0，所以同時變化的量的個數、都是空間維數的某個非負整數冪。
根據這個冪次的不同，可以對物理量進行分類。首先，把這種按一定規
律隨坐標系變化而變化的物理量組稱為張量，如果張量中物理量的個數
是空間維數的n次冪，就把這個張量叫做n階張量。
階數相同的張量具有相同的個數（廢話！）和變換規律，所以最後
的方程應當由階數相同的張量來組成。我們把物理定律在一個參考系下
用張量方程寫出來，就可以知道它在一切其他參考系下也是這樣的形式，
只不過，要用經過變換的張量來代替原來的。現在唯一的問題是，張量
在坐標表換下如何變化？
下面不得不寫點數學公式了。設原坐標系Xi，i是坐標編號，應該是
從0到3，新坐標系是X'i(Xi),寫成函數形式表示他們的變換關系。0階張
量就不說了，它們不變。對於一階張量Ai，變換關系有兩種：
A'i=Aj*dX'i/dXj A'i=Aj*dXi/dX'j
先解釋一下，這兩個式子應用了愛因斯坦求和約定，即相同的下標表示
對此下標從0到3求和，這個式子里的j就是這樣的下標。在此約定下，張
量方程可以寫成很簡單的形式。回到主題上來，這兩種1階張量是不同的
前一種叫做1階逆變張量，後一種叫做1階協變張量。對於更高階的張量，
因為有4^n個，所以要引入n個從0到3的下標將它們適當的編號,使得他們
滿足變換關系類似的，不過要注意，此時有的下標滿足逆變的變換關系，
有的滿足協變的，這種就叫做混合張量，一般寫成(p,q)型張量，表示有
p個逆變下標，q個協變下標。舉例來說，(1,1)型張量的變換關系是：
A'{i1,i2}=A{j1,j2}*dX'i1/dXj1*dXi2/dX'j2
其他型號的張量也可類似的寫出變換關系，說白了就是原張量的某個線
性和。為了書寫上的方便，逆變指標寫在右上角，協變指標寫在右下角
，不過bbs上無法用角標，我就用下面的方式代替了，花括弧表示指標集
，;前面的是逆變指標，後面的是協變指標：A{i1;i2},B{i,j;k,l,m}等
等。
還有幾個問題：
為什麼是線性和？是因為從對稱性的角度變換和逆變換的形式應當
一樣，所以只能是線性變換。
為什麼是齊次的？是因為非齊次項沒有作用，方程兩邊都有，所以
就減掉了。
變換系數為什麼只有這兩種？還是從逆變換的角度考慮變換方程的
形式應當不變，這樣自然可以推出系數。

張量的分類與變化規律就這樣結束了。有了這些，就可以寫出滿足
廣義寫變性要求的物理定律了。

總之一句話，廣義相對性原理要求物理定律用張量方程。這就是廣
義相對性原理的唯一作用。